Kezdőlap


Feladat:	C.243	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/április, 167 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: C.243

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $B B_{1}$ és $A A_{1}$ metszéspontját $P$ -vel, $B B_{1}$ és $C C_{1}$ metszéspontját $Q$ -val, $A A_{1}$ és $C C_{1}$ metszéspontját $R$ -rel.

A A_{1} C, B B_{1} A, C C_{1} B

háromszögek nyilván egybevágók, az

A B C

háromszög szabályossága miatt. Ugyancsak egybevágók a keletkezett kis háromszögek, ezek egyike az

A B_{1} P

háromszög. A

P Q R

háromszög területének kiszámításához az

A B C

háromszög területéből levonjuk az

A A_{1} C

területének háromszorosát; ekkor az

A B_{1} P

típusú háromszögek területét kétszeresen vontuk le, s ezért e területösszeget (az

A B_{1} P

háromszög területének háromszorosát) hozzá kell adni:

\begin{matrix} T_{P Q R} = T_{A B C} - 3 T_{A A_{1} C} + 3 T_{A B_{1} P} . \end{matrix}

A B_{1} B

háromszög területe az

A B C

háromszög területének

1 / 4

-e, hiszen közös az

A C

, ill.

A B_{1}

oldalukhoz tartozó

D B

magasságuk, és

A B_{1} = (1 / 4) A C

.
Az

A P B_{1}

és

A B B_{1}

háromszögek hasonlók, ugyanis

A B_{1} B

szögük közös, és

P A B_{1} ∢ = C_{1} B Q ∢ = A B B_{1} ∢

. Határozzuk meg oldalaik arányát:
A

B_{1} B D

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} B B_{1} = \sqrt[]{{(\frac{\sqrt[]{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}} = \frac{1}{4} \sqrt[]{13}, \end{matrix}

így a hasonlóság aránya:

\begin{matrix} B B_{1} : A B_{1} = \frac{1}{4} \sqrt[]{13} : \frac{1}{4} = \sqrt[]{13}, \end{matrix}

területük aránya

\begin{matrix} 13 = \frac{1}{4} : \frac{1}{52} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} T_{P Q R} = \frac{\sqrt[]{3}}{4} - 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4} + 3 \frac{1}{52} \frac{\sqrt[]{3}}{4} = \frac{1}{13} \sqrt[]{3} (\approx 0,13 területegység), \end{matrix}

ami az

A B C

háromszög területének

4 / 13

része, közel

31

%-a.