Kezdőlap


Feladat:	C.242	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Végh Éva
Füzet:	1992/november, 390. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: C.242

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x^{2} + 1 > 0$ , ezért a bal oldal minden valós $x$ -re értelmezett. A bal oldal szorzattá alakítható:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x^{2} + 1} - 1)}^{2} - 2^{2} = (\sqrt[]{x^{2} + 1} - 3) (\sqrt[]{x^{2} + 1} + 1) . \end{matrix}

A szorzat akkor pozitív, ha vagy mindkét tényezője pozitív, vagy mindkettő negatív.

\sqrt[]{x^{2} + 1} \geq 0

miatt a második tényező soha nem lehet negatív, így csak a

\sqrt[]{x^{2} + 1} \geq 3

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Mivel ebben mindkét oldal pozitív, négyzetre emelhetünk:

\begin{matrix} x^{2} + 1 \geq 9, ahonnan x \geq \sqrt[]{8}, ill. x \leq - \sqrt[]{8} . \end{matrix}

Végh Éva (Szekszárd, Garay J. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján.

Megjegyzések. Egyenlőtlenség esetén a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, pl.

- 3 > - 5

, de

{(- 3)}^{2} < {(- 5)}^{2}

.
Többen így okoskodtak:

x^{2} - 2 \geq 2 \sqrt[]{x^{2} + 1}

, mivel a jobb oldal nem negatív, így négyzetre emelve ekvivalens egyenlethez jutunk. Ez csak akkor igaz, ha

x^{2} - 2 \geq 0

. Gondoljunk pl. a következő egyszerű példára:

x + 1 \geq 1

. (Ennek megoldása nyilván

x \geq 0

.) Most emeljük négyzetre és rendezzük; kapjuk, hogy

x^{2} + 2 x \geq 0

, s ennek megoldásai

x \geq 0

és

x \leq - 2

. Ez utóbbi hamis eredmény.
Sokan elfelejtkeztek az értelmezési tartomány meghatározásáról, pedig a gyökvonás miatt ez is szükséges.
Az egyenlőtlenség számpéldákkal való ellenőrzése értelmetlen dolog, hiszen véges sok értékre kipróbálva csak azt tudjuk megállapítani, hogy ezekre teljesül-e az egyenlőtlenség, az összes többi számról nem tudunk semmit sem mondani.