Feladat: C.237 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1992/február, 72 - 73. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Maradékos osztás, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/január: C.237

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hét napjait 0-tól 6-ig terjedő számokkal fogjuk megadni. Még azt sem kötjük ki, hogy melyik napot melyik szám jelölje; csak annyit teszünk fel, hogy ha valamelyik napot e számok egyikével jelöltük, akkor a következő nap jelölésére az 1-gyel nagyobb számot (illetve 6 esetén a 0-t) használjuk. Mármost a feladat mindkét kérdésénél azt kell megnézni, hogy egymás utáni hónapokban a 13-át jelölő számok között előfordul-e a 0,...,6 mindegyike. Ha igen, akkor ebben az időszakban 13-a a hét bármelyik napjára eshetett; tehát péntekre is. Ha nem fordul elő a 0,...,6, mindegyike, akkor volt olyan nap, amelyikre nem esett 13-a, de azt még feltétlenül ellenőrizni kell, hogy ez éppen péntek volt-e.
Jelöljük 0-val azt a napot, amelyre egy adott évben január 13-a esett. Mivel január 31=4⋅7+3 napos, ezért február 13-a a 3-mal jelölt napra esett. Ennek megfelelően nem szökőév esetén a következőket kapjuk:
Jan.: 0; Febr.: 3; Márc.: 3; Ápr.: 6; Máj.: 1; Jún.: 4; Júl.: 6; Aug.: 2; Szept.: 5; Okt.: 0; Nov.: 3; Dec.: 5.
A hónapokat jellemző számsorozat a következő:

0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5.
Szökőévben ezek a számok márciustól kezdve 1-gyel eltolódnak, ezért a következőszámsort kapjuk:
0,3,4,0,2,5,0,3,6,1,4,6.

Azonnal észrevesszük, hogy az ötödik számtól kezdődő hét szám
(1, 4, 6, 2, 5, 0, 3; illetve szökőévnél 2, 5, 0, 3, 6, 1, 4) között mindegyik számunk előfordul. Eszerint:
Minden évben, májustól novemberig pontosan egy olyan hónap van, amelyikben 13-a péntekre esik
Éppen ezért, ha a második kérdésre akarunk válaszolni, akkor a hónapok számlálását júniustól érdemes kezdeni, és persze most a számolást a következő évre is folytatni kell. Az nem számít, hogy ez az év szökőév, mert ez csak a márciusra való "áttérésnél'' jelentkezik. Ennek megfelelően úgy számolunk, mintha nem lett volna szökőév. Abban az esetben viszont, ha a következő év szökőév, más számsort kapunk. A számokat júniusnál kezdjük; és a következő év októberében fejezzük be:
4,6,2,5,0,3,5,1,4,4,0,2,5,0,3,6,1;
szökőéveknél:
4,6,2,5,0,3,5,1,4,5,1,3,6,1,4,0,2.

Az első sorban látjuk, hogy a második és az utolsó előtti szám 6-os; és közöttük sehol nem szerepel 6-os. Ha tehát a "második'' év nem szökőév, akkor az előző év júliusa és a második év szeptembere között valamelyik napra nem esik 13-a. Kell tehát keresni olyan nem szökőév előtti évet, amikor július 13-a péntek volt. Ez nem okoz sok gondot; legutóbb 1990 volt ilyen. Ettől kezdve egészen 1991 szeptemberéig ( 13 hónapon keresztül) nem esett 13-a péntekre.
Hasonlóképpen látható be, hogy a szökőéves ,,megoldás'' is lehetséges, szeptembertől októberig. Az utolsó ilyen 1971-ben volt. Ekkor augusztus 13 után 13 hónapig nem esett 13-a péntekre.