Feladat: C.235 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1993/január, 24 - 25. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Szorzat, hatvány számjegyei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/december: C.235

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen A egy n(≥1) jegyű szám, számjegyei a feltétel szerint

x,x+1...,x+n;
itt x+n-1≤9, ahonnan n≤9.
Tudjuk, hogy 9A+n0-ra végződik, azaz 10∣9A+n=10A+n-A; ez akkor osztható 10-zel, ha n-A is osztható, vagyis A ugyanarra a számjegyre végződik, mint n.
Mivel n egyjegyű szám, ezért n=x+n+1, ahonnan x=1 adódik, tehát A lehetséges értékei:
1,12,123,1234,12345,123456,1234567,12345678,123456789.
Egyszerű számítással ellenőrizhetjük, hogy e kilenc szám mindegyike eleget is tesz a feltételeknek (pedig a megoldás során csupán az első feltételt használtuk fel!). Hogy ez nem véletlen, azt a következő átalakítás sorozat mutatja:

9A+n=9⋅12...n¯+n=9(10n-1+2⋅10n-2+...+(n-1)10+n)+n==9((10n-1+10n-2+...+1)+(10n-2+10n-3+...+1)+(10+1)+1)+n==(10n-1)+(10n-1-1)+...+(102-1)+(10-1)+n==10n+10n-1+...+10=11...10¯.