Kezdőlap


Feladat:	C.233	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zsenei András
Füzet:	1992/december, 449 - 450. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/december: C.233

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük négyzetre az átrendezéssel kapott $2 | x - p | = 1 - | x - 2 |$ egyenletet (felhasználva az ${(| a |)}^{2} = a^{2}$ azonosságot):

\begin{matrix} 3 x^{2} + 4 p^{2} - 8 p x - 5 + 4 x + 2 | x - 2 | = 0. \end{matrix}

(1)

Mivel az eredeti egyenlet mindkét oldala nemnegatív, azért elegendő a továbbiak során csak (1)-gyel foglalkozni.
Az

x

-re két lehetőséget kell megvizsgálnunk.
a) Ha

x \geq 2

, akkor

| x - 2 | = x - 2

és (1) a következő másodfokú egyenletet adja

x

-re:

\begin{matrix} 3 x^{2} + (6 - 8 p) x + 4 p^{2} - 9 = 0. \end{matrix}

Az egyenletnek rögzített

p

mellett akkor van pontosan egy gyöke, ha a diszkrimináns

\begin{matrix} D = 16 (p^{2} - 6 p + 9) = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} p = 3, \end{matrix}

ekkor az egyetlen megoldás

x = 3 \geq 2

.
b) Ha

x \leq 2

, akkor rendezés után a

\begin{matrix} 3 x^{2} + (2 - 8 p) x + 4 p^{2} - 1 = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk, itt

D = 16 (p^{2} - 2 p + 1) = 0

, ha

p = 1;

az egyetlen gyök

x = 1 \leq 2

, így ez is megfelel a feltételnek. Tehát az egyenletnek akkor van pontosan egy megoldása, ha

p = 1

vagy

p = 3

Zsenei András (Bp. ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., II. o. t.)