Kezdőlap


Feladat:	C.230	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Buró Szilárd
Füzet:	1991/december, 458. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/november: C.230

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bizonyítandó állítás a következő alakban is írható:

\begin{matrix} \sqrt[]{8 + \sqrt[]{60}} + \sqrt[]{8 - \sqrt[]{60}} = \sqrt[]{7 + \sqrt[]{40}} + \sqrt[]{7 - \sqrt[]{40}} . \end{matrix}

Mivel mindkét oldal pozitív, a két oldalt négyzetre emelve, e lépés megfordítható. Azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 8 + \sqrt[]{60} + 2 \sqrt[]{64 - 60} + 8 - \sqrt[]{60} = 7 + \sqrt[]{40} + 2 \sqrt[]{49 - 40} + 7 - \sqrt[]{40} . \end{matrix}

Összevonások után

20 = 20

adódik. Mivel átalakításaink megfordíthatóak, az állítás igaz.

II. megoldás. Négyzetre emelés nélkül is megoldható a feladat, ha észrevesszük, hogy a gyökjelek alatt teljes négyzetek állnak. A bizonyítandó állítás:

\begin{matrix} \sqrt[]{{(\sqrt[]{5} + \sqrt[]{3})}^{2}} - \sqrt[]{{(\sqrt[]{5} + \sqrt[]{2})}^{2}} = \sqrt[]{{(\sqrt[]{5} - \sqrt[]{2})}^{2}} - \sqrt[]{{(\sqrt[]{5} - \sqrt[]{3})}^{2}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} | \sqrt[]{5} + \sqrt[]{3} | - | \sqrt[]{5} + \sqrt[]{2} | = | \sqrt[]{5} - \sqrt[]{2} | - | \sqrt[]{5} - \sqrt[]{3} |, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2} = \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}; \end{matrix}

az állítás tehát igaz.
Buró Szilárd (Bp., Budai Nagy Antal Gimn.)