Kezdőlap


Feladat:	C.228	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1991/április, 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Kocka, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/október: C.228

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A teljes kockát tekintve a kockán belül lévő, de a gömbön kívüli pontokból álló rész térfogata

\begin{matrix} a^{3} - \frac{4}{3} π {(\frac{a}{2})}^{3}, \end{matrix}

ahol

a = 4

cm, a kocka élhossza.
Ha azt a megszorítást tesszük, hogy a pontok a kocka

A

csúcsához legyenek a legközelebb, akkor az e pontokból álló rész térfogata az előbbi mennyiség nyolcadrésze lesz. A kocka nyolc csúcsa ugyanis egymással egyenrangú, és azok a pontok, amelyek két vagy több csúcstól egyenlő távolságra vannak, együttvéve is csak zérus térfogatot foglalnak el a kockából.
A keresett térfogat tehát

\begin{matrix} \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{48} π a^{3} = 8 - \frac{4}{3} π \approx 3,8112 {cm}^{3} . \end{matrix}