Kezdőlap


Feladat:	C.226	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Patkós Petra
Füzet:	1991/április, 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/október: C.226

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha az első egyenlethez hozzáadjuk a második egyenlet háromszorosát,

\begin{matrix} x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} = 1000 \end{matrix}

adódik. A bal oldalon álló kifejezés egy nevezetes azonosság szerint

{(x + y)}^{3}

-nel egyenlő. Mindkét oldalból köbgyököt vonva:

\begin{matrix} x + y = 10. \end{matrix}

y

értékét kifejezve és az első egyenletbe behelyettesítve egyszerűsítés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{2} - 10 x + 20 = 0. \end{matrix}

Ennek az egyenletnek a gyökei:

x_{1} = 5 + \sqrt[]{5}; x_{2} = 5 - \sqrt[]{5} .

Mivel az egyenletrendszer

x

-ben és

y

-ban szimmetrikus, a megoldások:

\begin{matrix} x_{1} & = 5 + \sqrt[]{5} és x_{2} = 5 - \sqrt[]{5}; \\ y_{1} & = 5 - \sqrt[]{5} és y_{2} = 5 + \sqrt[]{5} . \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk a megoldások helyességéről.

Patkós Petra (Kunszentmárton, József Attila Gimn., III. o. t.)