Kezdőlap


Feladat:	C.223	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antosz János Titusz , Győrfi Csaba , Malcsik László , Nagy Tamás , Péteri Szabolcs , Szabó Miklós , Szajkó Gyula
Füzet:	1991/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenesek egyenlete, Terület, felszín, Trapézok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: C.223

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit.

\begin{matrix} T_{A B C D E} = T_{A G D E} + T_{G B C D}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} T_{A B C D E} = 30 + 10 = 40. \end{matrix}

Legyen

e

az az egyenes, amelyik a követelményeknek eleget tesz. (Ez az egyenes az

x

tengelyt a

K

pontban metszi.) Jelöljük az

A K

távolságot

d

-vel. Mivel

T_{G B D C} = 10

és

\frac{1}{2} T_{A B C D E} = 20

, azért

0 < d < 6

. Az

E H D

háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, mert

E H = H D = 6.

E M N

háromszög hasonló az

E H D

háromszöghöz, így

E N = N M = d

. Ezek ismeretében felírhatjuk az

A K M E

trapéz területét, amelynek nagysága a feltételek értelmében

20

területegység:

\begin{matrix} \frac{8 + 8 - d}{2} \cdot d = 20. \end{matrix}

Ebből a

\begin{matrix} d^{2} - 16 d + 40 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ennek megoldásai:

d_{1} = 8 + 2 \sqrt[]{6}, d_{2} = 8 - 2 \sqrt[]{6}

. Mivel

d_{1} > 6 > d_{2}

, így feltételeinknek

d_{2}

tesz eleget. Az

e

egyenes tehát áthalad a

K (8 - 2 \sqrt[]{6}; 0)

ponton; az egyenlete:

\begin{matrix} x = 8 - 2 \sqrt[]{6} (\approx 3, 1) . \end{matrix}

Szajkó Gyula (Jászárokszállás, Deák Ferenc Gimn., II. o. t.)