Kezdőlap


Feladat:	C.220	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczes Tamás , Kovács Éva
Füzet:	1990/október, 315 - 316. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Köréírt alakzatok, Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/május: C.220

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömb köré csak egyféleképpen írható henger, ennek térfogata állandó, mégpedig a gömb sugarával kifejezve $V_{1} = 2 r^{3} π$ .
A $V_{2} / V_{1}$ arány így akkor lesz a legkisebb, ha $V_{2}$ a legkisebb értéket veszi fel.
A gömb köré írható kúpok közül tehát a legkisebb térfogatút kell meghatározni. Jelöljük a kúp alapkörének sugarát $R$ -rel, magasságát $m$ -mel; így $V_{2} = \frac{R^{2} π m}{3}$ és

\begin{matrix} \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{\frac{R^{2} π m}{3}}{2 r^{3} π} = R^{2} m \cdot \frac{1}{6 r^{3}} . \end{matrix}

(1)

Mivel

\frac{1}{6 r^{3}}

állandó, csak azt kell megvizsgálnunk, mikor lesz

R^{2} m

minimális. Készítsük el a kúpnak egy, az alapkör középpontján átmenő, az alapsíkra merőleges síkmetszetét.

Az ábra jelöléseit felhasználva az

O E B

és

B D C

hasonló háromszögekből

\begin{matrix} \frac{R}{m} = \frac{r}{\sqrt[]{{(m - r)}^{2} - r^{2}}} . \end{matrix}

Négyzetre emelve és rendezve

\begin{matrix} \frac{R^{2}}{m^{2}} = \frac{r^{2}}{m (m - 2 r)}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} f (m) = R^{2} m = \frac{r^{2} m^{2}}{m - 2 r}; \end{matrix}

ennek keressük a minimumát.
Egy deriválható függvénynek az értelmezési tartománya határán, vagy ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0. Esetünkben

m > 2 r

, és

m \to 2 r

, ill.

m \to \infty

esetén egyaránt

f (m) \to + \infty

. Másrészt

\begin{matrix} f' (m) = \frac{2 r^{2} (m - 2 r) - r^{2} m^{2}}{{(m - 2 r)}^{2}} = \frac{r^{2} m^{2} - 4 r^{3} m}{{(m - 2 r)}^{2}} . \end{matrix}

Mivel a nevező pozitív, a tört akkor 0, ha a számlálója 0, azaz

\begin{matrix} r^{2} m^{2} - 4 r^{3} m = r^{2} m (m - 4 r) = 0, \end{matrix}

r^{2} m \neq 0

, hiszen

r

és

m > 0

, ha

m - 4 r = 0

, akkor

m = 4 r

.
Természetesen azt is meg kell vizsgálni, hogy valóban szélsőérték (sőt minimum) van, pl. úgy, hogy megnézzük, a derivált függvény előjelet vált-e (negatívból pozitívba). Többen írták azt, hogy ahol a derivált 0, ott a függvénynek szélsőértéke van, ami így nem igaz.
Ha tehát

m = 4 r

, akkor a keresett hányados (1) szerint

\begin{matrix} \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{r {(4 r)}^{2}}{4 r - 2 r} \cdot \frac{1}{6 r^{3}} = \frac{4}{3} . \end{matrix}

Kovács Éva (Vác, Friss I. Közg. Szki., III. o. t)
dolgozata alapján

Megjegyzés. A szélsőértéket deriválás nélkül is meg lehet határozni, ha ügyesen választunk változót. Ilyen Bérczes Tamás 8. o. Vésztő, Szabó P. Ált. Isk. dolgozata.