A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A gömb köré csak egyféleképpen írható henger, ennek térfogata állandó, mégpedig a gömb sugarával kifejezve . A arány így akkor lesz a legkisebb, ha a legkisebb értéket veszi fel. A gömb köré írható kúpok közül tehát a legkisebb térfogatút kell meghatározni. Jelöljük a kúp alapkörének sugarát -rel, magasságát -mel; így és | | (1) |
Mivel állandó, csak azt kell megvizsgálnunk, mikor lesz minimális. Készítsük el a kúpnak egy, az alapkör középpontján átmenő, az alapsíkra merőleges síkmetszetét.
Az ábra jelöléseit felhasználva az és hasonló háromszögekből Négyzetre emelve és rendezve ahonnan ennek keressük a minimumát. Egy deriválható függvénynek az értelmezési tartománya határán, vagy ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0. Esetünkben , és , ill. esetén egyaránt . Másrészt | | Mivel a nevező pozitív, a tört akkor 0, ha a számlálója 0, azaz , hiszen és , ha , akkor . Természetesen azt is meg kell vizsgálni, hogy valóban szélsőérték (sőt minimum) van, pl. úgy, hogy megnézzük, a derivált függvény előjelet vált-e (negatívból pozitívba). Többen írták azt, hogy ahol a derivált 0, ott a függvénynek szélsőértéke van, ami így nem igaz. Ha tehát , akkor a keresett hányados (1) szerint | |
Kovács Éva (Vác, Friss I. Közg. Szki., III. o. t) dolgozata alapján Megjegyzés. A szélsőértéket deriválás nélkül is meg lehet határozni, ha ügyesen választunk változót. Ilyen Bérczes Tamás 8. o. Vésztő, Szabó P. Ált. Isk. dolgozata. |