Kezdőlap


Feladat:	C.214	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1990/október, 314 - 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Exponenciális egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: C.214

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználva a hatványozás azonosságait, a következő trigonometrikus egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} sin^{2} x + 2 cos^{2} x + tg x = 3. \end{matrix}

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

tg x = \frac{sin x}{cos x}

azonosságok beírásával

\begin{matrix} sin^{2} x + 2 - 2 sin^{2} x + \frac{sin x}{cos x} = 3, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} \frac{sin x}{cos x} = 1 + sin^{2} x . \end{matrix}

(1)

Emeljük négyzetre az egyenletet és alkalmazzuk újra a négyzetes összefüggést. Kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin^{6} x sin^{4} x - 1 = 0; azaz y = sin^{2} x \end{matrix}

helyettesítéssel a következő harmadfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} y^{3} + y^{2} - 1 = 0. \end{matrix}

A megoldók egy része az (1) egyenletet grafikusan oldotta meg: ábrázolták külön-külön a

tg x

és az

1 + sin^{2} x

függvényt, és a grafikonról leolvasták a közelítő gyököt.
Néhányan zsebszámológépen iterálással (közelítő módszerrel) határozták meg a szög értékét. Akik pedig ismerték a Cardano-formulát és alkalmazni is tudták, azok ki tudták számítani az

x

értékét,

x \approx 1, 0530

radián, azaz kb.

60^{\circ}

.
Azok a megoldók, akik a fenti módszerek valamelyikével sikeresen határozták meg a gyökök közelítő értékét, megkapták a 2 pontot.

Megjegyzések 1. A Cardano-formula a másodfokú egyenlet megoldóképletéhez hasonló összefüggés. Az általános

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

harmadfokú egyenlet helyettesítéssel

y^{3} + p y + q = 0

alakra hozható, ahol

p

és

q

a

b

c

d

együtthatókkal a négy alapművelet segítségével kifejezhetők.
Az egyenlet megoldásait az

\begin{matrix} y = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt[]{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt[]{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} \end{matrix}

összefüggés adja. Ez az ún. Cardano-képlet. (Bővebben olvashatunk róla pl. Nagy pillanatok a matematika történetében, Gondolat Kiadó Bp., 1981. c. könyv 58‐66 oldalán.)

2. A másodfokú egyenlet megoldását már a görögök is ismerték, a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása csak a XVI században vált ismertté. A harmadfokú egyenlet megoldó képletét G. Cardano olasz matematikus közölte 1539-ben megjelent könyvében. A negyedfokú egyenletre először L. Ferrari olasz matematikus adott megoldási módszert. Sok matematikus próbálkozott magasabb fokú egyenlet megoldásával, azaz kerestek olyan képletet, amellyel bármely magasabb fokú egyenlet megoldható. Végül N. H. Abel norvég matematikus kimutatta, hogy az ötödfokú és annál magasabb fokú általános egyenletre nem létezik ilyen képlet.

3. A feladatba sajnálatos hiba csúszott. Eredetileg a

\begin{matrix} 2^{sin^{2} x} \cdot 4^{cos^{2} x} \cdot 2^{{tg}^{2} x} = 8 \end{matrix}

egyenlet legkisebb gyökét kívántuk meghatározni. Ez a feladat lényegesen egyszerűbb, próbálkozzanak meg vele olvasóink.