Kezdőlap


Feladat:	C.206	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csontos Mónika
Füzet:	1990/október, 312 - 313. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/február: C.206

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk át az egyenleteket a következőképpen

\begin{matrix} x + y = - z - 1, & (1) \\ x^{2} - y^{2} = 1 - z^{2}, & (2) \\ - x^{3} + y^{3} + z^{3} = - 1. & (3) \end{matrix}

Az (1) egyenletből

z = x + y + 1

, behelyettesítve a (2) egyenletbe:

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 1 - {(x + y + 1)}^{2} . \end{matrix}

Elvégezve a négyzetreemelést, használjuk fel az

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

ismert azonosságot, és rendezzük az egyenletet. Kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 \cdot (x + 1) (x + y) = 0. \end{matrix}

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

\begin{matrix} Ha & Ha \\ x + 1 = 0, x = - 1, & x + y = 0, x = - y, \\ akkor & akkor \\ az (1) egyenletből- 1 + y - z = - 1, & (1)-bőlz = 1, (3)-ból  pedig2 y^{3} = - 2, \\ azazy = z, ezt (3)-ba helyettesítve & azazy = - 1. Most  a megoldásx = 1, \\ 1 + 2 y^{3} = - 1, ahonnany^{3} = - 1, és & y = - 1,z = 1. \\ y = - 1, tehát az egyenletrendszer \\ megoldásax = - 1,y = - 1,z = - 1. \end{matrix}

Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, mindkét számhármas kielégíti az egyenletet.
Természetesen helyettesítéssel is ellenőrizhetjük a megoldások helyességét, s ez már azért is célszerű, mert így győződhetünk meg arról, hogy nem követtünk-e el számolási hibát. A teljes megoldáshoz az ellenőrzés is hozzátartozik.

Csontos Mónika (Baja, III. Béla Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján