Kezdőlap


Feladat:	C.199	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1990/május, 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/december: C.199

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az átlók metszéspontját $E$ -vel. Nyilván elegendő azt belátni, hogy az $A E D$ háromszög egyenlő szárú $(A E = A D)$ ; ebből következik, hogy a szögfelező merőleges az alapra.

A G D

és

B F C

derékszögű háromszögekre írjuk fel Pitagorasz tételét:

\begin{matrix} m^{2} + x^{2} = 15^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} m^{2} + {(14 - x)}^{2} = 13^{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = 9 és m = 12. \end{matrix}

A F C

derékszögű háromszögből

A C = \sqrt[]{12^{2} + 16^{2}} = 20

. Végül

E D C Δ

hasonló

E B A Δ

, s a hasonlóság aránya 1 : 3, ahonnan

A E = \frac{3}{4} A C = 15

.
Tehát az

A D E

háromszög valóban egyenlő szárú.

Sokan próbálták a szöget szögfüggvények, ill. szinusz-, koszinusztétel felhasználásával kiszámítani. Jóllehet a négyjegyű függvénytábla kerekített értékei szerencsére éppen

90^{\circ}

-ot adtak, ez azonban csak közelítő érték, így nem bizonyítása a feladatnak.