Feladat: C.194 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1990/április, 171 - 172. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/november: C.194

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nem az volt a feladat, hogy az egyenletet megoldjuk; akik így próbálkoztak, bizony nem jutottak messzire.
A négyzetgyökvonás definíciójából x≥0, és

a+x≥0,azazx≥0.

Rendezzük át az egyenletet: a+x=a-x, és ábrázoljuk a megfelelő függvényeket a koordináta rendszerben. A jobb oldal képe egyenes, mely mindkét tengelyt metszi a (0; a), ill. (a; 0) pontokban. A bal oldal egy szigorúan monoton növekvő függvény, melynek képe az y tengely a pontjából indul. Így pontosan akkor létezik megoldás, ha a≤a, azaz a≤a2, átrendezve a2-a=a(a-1)≥0, azaz vagy a=0, vagy a≥1.
Tehát az egyenletnek akkor van megoldása, ha a=0, vagy a≥1.
 

II. megoldás. Legyen a+x=b2, (b≥0), akkor a=b2-x, egyenletünk pedig a következő alakot ölti:
x+b=a,azazx+b=b2-x,
átrendezve
b2-x-(b+x)=0.(1)

Felhasználva, hogy b2-x=b2-(x)2=(b-x)(b+x), (1) átalakítható szorzattá:
(b+x)(b-x-1)=0.

Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője 0.
Azaz:
1. b+x=0; ez csak úgy teljesülhet, ha a-x=b=x=0, azaz a=x=0.
2. b-x-1=0; ide a b=a-x egyenlőséget beírva, x-re másodfokú egyenletet kapunk, x+x+1-a=0, amelynek egyik gyöke szükségképpen nemnegatív:
x=--1+1-4+4a2≥0.(2)

Mivel itt a gyökök összege -1, negatív, az egyenletnek csak akkor lehet pozitív megoldása, ha a gyökök szorzata (1-a) negatív vagyis a≥1. És ekkor a (2) alapján adódó x értékről belátható, hogy az valóban megoldása az eredeti egyenletnek.