A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Nem az volt a feladat, hogy az egyenletet megoldjuk; akik így próbálkoztak, bizony nem jutottak messzire. A négyzetgyökvonás definíciójából , és Rendezzük át az egyenletet: , és ábrázoljuk a megfelelő függvényeket a koordináta rendszerben. A jobb oldal képe egyenes, mely mindkét tengelyt metszi a (0; ), ill. (; 0) pontokban. A bal oldal egy szigorúan monoton növekvő függvény, melynek képe az tengely pontjából indul. Így pontosan akkor létezik megoldás, ha , azaz , átrendezve , azaz vagy , vagy . Tehát az egyenletnek akkor van megoldása, ha , vagy . II. megoldás. Legyen , , akkor , egyenletünk pedig a következő alakot ölti: átrendezve Felhasználva, hogy , (1) átalakítható szorzattá: Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője 0. Azaz: 1. ; ez csak úgy teljesülhet, ha , azaz . 2. ; ide a egyenlőséget beírva, -re másodfokú egyenletet kapunk, , amelynek egyik gyöke szükségképpen nemnegatív: Mivel itt a gyökök összege , negatív, az egyenletnek csak akkor lehet pozitív megoldása, ha a gyökök szorzata negatív vagyis . És ekkor a (2) alapján adódó értékről belátható, hogy az valóban megoldása az eredeti egyenletnek. |