Feladat: C.193 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1990/április, 170 - 171. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/november: C.193

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyű felismerni, hogy az egyenlet átírható a következő alakba:

(x-1)3+(y+2)3=1.
Két köbszám összege pedig csak úgy lehet 1, ha az egyik 0 és a másik 1. Azaz
 

x-1=0, ahonnan x=1,  x-1=1,  x=2  vagyvagyazazy+2=1, ahonnan y=-1,  y+2=0,  y=-2.   
 


Tehát két megoldáspár tesz eleget az egyenletnek, az (1,-1) és a (2,-2). Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, azért ezek valóban megoldásai is az egyenletnek.
Be kell még látnunk azt az állításunkat, mely szerint ha az a, b egészekre a3+b3=1, akkor a és b közül az egyik 0, a másik 1.
Szorzattá alakítva:
1=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2). Mivel a és b egész, ezért a szorzat csak úgy lehet 1, ha mindkét tényező vagy +1, vagy -1.
Ha a+b=1, a=1-b és a2-ab+b2=1 egyenletbe helyettesítve az előbbi értékét: (1-b)2-(1-b)b+b2=1. Innen b(b-1)=0. Ha b=0, akkor a=1, ha viszont b=1, akkor a=0. Ha a+b=-1, hasonló módon elvégezve a helyettesítést a 3b2+3b+2=0 egyenlethez jutunk, melynek diszkriminánsa D=9-24<0, így ekkor nincs valós megoldás.