Kezdőlap


Feladat:	C.191	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1990/február, 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szögfelező egyenes, Paralelogrammák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/október: C.191

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B < B C$ , ekkor a szögfelező az $A D$ oldalt egy belső pontjában metszi. A feladat feltételeiből $A B P ∢ = P B C ∢ = P C B ∢ = α$ .
Az $A B C D$ paralelogrammában $B A D ∢ = 180^{\circ} - 2 α$ , ezt felhasználva kapjuk, hogy $A P B ∢ = α$ . Az $A P B$ és $P B C$ hasonló háromszögekből

\begin{matrix} \frac{A B}{B P} = \frac{B P}{B C}, \end{matrix}

ahonnan az

A B

oldalt

x

-szel jelölve az

x^{2} + 5 x - 36 = 0

másodfokú egyenlethez jutunk. Ebből a pozitív értéket figyelembe véve kapjuk, hogy az

A B

oldal 4 egység.
Kevesen gondoltak arra, hogy a másik esetet is megvizsgálják, ha a szögfelező az oldal meghosszabbítását metszi, amikor is teljesen hasonló gondolatmenetet alkalmazva azt kapjuk, hogy

A B = 9

.
A feladatot másféle módon is meg lehet oldani pl. szögfüggvények alkalmazásával, de a megoldás hasonlóság alkalmazásával a legegyszerűbb.