Kezdőlap


Feladat:	C.190	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1990/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Irracionális egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/október: C.190

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rögtön észrevehetjük, hogy a gyökjel alatt teljes négyzetek állnak. Tudjuk, hogy $\sqrt[]{a^{2}} = | a |$ , így a következő egyenlethez jutunk:

| 2 x + 1 | - | 2 x - 3 | = 4

Az abszolútérték függvény definíciója szerint

\begin{matrix} | 2 x + 1 | = {\begin{matrix} 2 x + 1, & ha & x ≧ - \frac{1}{2}, \\ - (2 x + 1), & ha & x < - \frac{1}{2}, \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} | 2 x - 3 | = {\begin{matrix} 2 x - 3, & ha & x ≧ \frac{3}{2}, \\ - (2 x - 3), & ha & x < \frac{3}{2}, \end{matrix} \end{matrix}

Eszerint 3 intervallumban kell vizsgálni az egyenlet megoldását.

1. Ha

x ≧ \frac{3}{2}

, akkor

2 x + 1 - (2 x - 3) = 4

azaz 4=4

következmény-egyenlethez jutunk. Ezen

x

értékek tehát megoldásai az egyenletnek.

2. Ha

- \frac{1}{2} ≦ x < \frac{3}{2}

, ekkor

2 x + 1 - [- (2 x - 3)] = 4

Innen

x = \frac{3}{2}

, ez azonban nincs az intervallumban.

3. Ha

x < - \frac{1}{2}

, ekkor

- (2 x - 1) - [- (2 x - 3)] = 4

innen

- 4 = 4

következmény-egyenlethez jutunk, ebben az intervallumban tehát nincs megoldása az egyenletnek.
A három következmény-egyenlet közül az első azonosság, a harmadik ellentmondás.
Az egyenlet megoldásai az

x ≧ \frac{3}{2}

félegyenes számai.