Kezdőlap


Feladat:	C.189	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fata Rita
Füzet:	1990/február, 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/október: C.189

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldását célszerű annak vizsgálatával kezdeni, hogy hányjegyű számok tehetnek eleget a feltételnek. (Ezt sokan elmulasztották.)
1. Ha $n$ egyjegyű, akkor a feltétel a következő alakban írható: $x = x^{2} - x + 1$ , ahonnan $x = 1$ , és ez valóban megoldása a feladatnak.
2. Ha $n$ kétjegyű, jelöljük jegyeit $x$ -szel és $y$ -nal, akkor $10 x + y = {(x + y)}^{2} - (x + y) + 1$ . Átalakítva az egyenletet $9 x = {(x + y - 1)}^{2}$ . Mivel a jobb oldal négyzetszám, a bal oldal is az kell, hogy legyen, ez pedig $x = 0$ (ezt már az előbb vizsgáltuk) $x = 1$ , $x = 4$ , $x = 9$ esetén teljesül, s ekkor $n = 13$ , $43$ , ill. $91$ .
3. Ha $n$ háromjegyű, akkor

\begin{matrix} 100 x + 10 y + z = {(x + y + z)}^{2} - (x + y + z) + 1, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 9 (11 x + y) = {(x + y + z - 1)}^{2} . \end{matrix}

Legyen

11 x + y = k^{2}

, azaz

x + y + z = 3 k + 1

.
Mivel

x, y, z ≧ 1

k

legalább 4 és

x + y + z ≦ 27

miatt

k

legfeljebb 8.
Az eseteket megvizsgálva kapjuk, hogy a háromjegyű számok között egy megoldás van, a 157.
A négyjegyű számokat már nem kell vizsgálni, mert

{(4 \cdot 9)}^{2} - 4 \cdot 9 + 1 = 1261

. Tehát az első jegy 1 lenne, ekkor azonban

{(1 + 9 \cdot 3)}^{2} - (1 + 9 \cdot 3) + 1 = 757

miatt a szám nem lehetne négyjegyű.

Fata Rita (Nagykanizsa, Landler J. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján