Kezdőlap


Feladat:	C.188	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagyinszki Róbert
Füzet:	1990/január, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: C.188

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra jelölése szerint

\begin{matrix} A C = 18 cm, \\ A D = 5 cm, \\ D E = 4 cm, \\ D F = 5 cm . \end{matrix}

A megoldók nagy többsége kiszámította az

A

csúcsnál lévő

α

, ill. a

C

csúcsnál lévő

γ

szög értékét valamelyik szögfüggvény felhasználásával, hiszen

A E D

és

D F C

dérékszögű háromszögek. Pl. így:

\begin{matrix} sin α = \frac{4}{5}, & sin β = \frac{5}{13}, \\ cos α = \frac{3}{5}, & cos β = \frac{12}{13} . \end{matrix}

Majd felhasználták a

\begin{matrix} t = \frac{b^{2} sin α sin γ}{2 sin (α + γ)} = \frac{b^{2} sin α sin γ}{2 (sin α cos γ + cos α sin γ)} \end{matrix}

képletet. Kevés számolással a területre

\frac{360}{7} {cm}^{2} \approx 51,43 {cm}^{2}

értéket kaptak.

Bármilyen módon jutottak is el a megoldók a helyes eredményhez, megkapták a 2 pontot. Most mégis bemutatunk egy igen elegáns, rövid megoldást, beküldte Bagyinszki Róbert (Békéscsaba, Sebes Gy. Közg. Szki., II. o. t).
Felhasználva az ábra jelöléseit:

A E = 3

cm,

F C = 12

cm. Jelölje az

A C

oldalhoz tartozó magasság talppontját

T

A T = x

T C = 18 - x

B T = m

. Az

A D E

és

A B T

hasonló háromszögekből

\begin{matrix} \frac{4}{3} = \frac{m}{x} . \end{matrix}

(1)

C F D

és

B T C

hasonló háromszögekből

\begin{matrix} \frac{5}{12} = \frac{m}{18 - x}, \end{matrix}

behelyettesítve (1)-ből az

x

értéket

\begin{matrix} m = \frac{40}{7}, és így T_{A B C} = \frac{18 \cdot m}{2} = \frac{18 \cdot \frac{40}{7}}{2} = \frac{360}{7} {cm}^{2} . \end{matrix}