Kezdőlap


Feladat:	C.187	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1990/január, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Sokszögek szimmetriái, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: C.187

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje $a$ az oldalt, $b$ a rövidebb átlót, $c$ a hosszabbik átlót, $r$ a kör sugarát. Tudjuk, hogy a szabályos 9-szög egy oldalához tartozó középponti szög $40^{\circ}$ , így a $b$ húrhoz $80^{\circ}$ , a $c$ -hez $160^{\circ}$ -os középponti szög tartozik, s a hozzájuk tartozó kerületi szög ennek fele.

Felírhatjuk az ismert összefüggés alapján, hogy

\begin{matrix} a = 2 r sin 20^{\circ}, b = 2 r sin 40^{\circ}, c = 2 r sin 80^{\circ} . \end{matrix}

Majd felhasználva a

\begin{matrix} sin x + sin y = 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} \end{matrix}

összefüggést, a bizonyítandó

a + b = c

egyenlőségünk

\begin{matrix} sin 40^{\circ} + sin 20^{\circ} = 2 sin 30^{\circ} cos 10^{\circ} = sin 80^{\circ} . \end{matrix}

alakba írható. Mivel

sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}

és

cos 10^{\circ} = sin 80^{\circ}

, az egyenlőség teljesül.

II. megoldás.

A B

és

E D

egyenesek metszik egymást egy

P

pontban.

B A E ∢ = D E A ∢ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 40^{\circ} = 60^{\circ}

, s mivel a

P A E

háromszög egyenlő szárú, a 9-szög tengelyes szimmetriája miatt a

P A E ▵

egyben egyenlő oldalú is. S mivel

B D ∥ A E

és a

B P D

háromszög is egyenlő oldalú, azaz

B P = B D = A C

(ez utóbbi egyenlőség abból következik, hogy

A C

is és

B D

is a szabályos 9-szög két másodszomszédos csúcsát összekötő átló.)