Kezdőlap


Feladat:	C.151	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biczó Krisztina
Füzet:	1989/március, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Természetes számok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: C.151

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatra kétféle típusú megoldás érkezett. Az első: Jelöljük a keresett $n$ jegyű természetes számot $A$ -val, azaz

\begin{matrix} A = 10^{n - 1} \cdot a_{n - 1} + 10^{n - 2} \cdot a_{n - 2} + ... + 10 a_{1} + 4. \end{matrix}

A feltétel szerint

\begin{matrix} 4 A = \frac{A - 4}{10} + 4 \cdot 10^{n - 1}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A = \frac{4 (10^{n} - 1)}{39} . \end{matrix}

A legkisebb

A

megoldást akkor kapjuk, ha megkeressük a legkisebb olyan

n

-t

(n > 0)

, amelyre

10^{n}

39

-cel osztva

1

-et ad maradékul. Mivel

10^{n}

3

-mal osztva

1

-et ad maradékul, elég a

13

-mal való osztás

1

maradékát keresni.
Az eredményt az alábbi táblázatban láthatjuk.

\begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 10^{n}maradéka \\ 13-mal osztva & 10 & 9 & 12 & 3 & 4 & 1 \end{matrix}

A maradék ciklikussága miatt elég volt

n = 13

-ig vizsgálni, hogy van-e ilyen

10

hatvány. Ilyen van,

n = 6

. Így a legkisebb megoldás

\begin{matrix} A = \frac{4 (10^{6} - 1)}{39} = 102 564. \end{matrix}

A második típusú megoldás:
Ha létezik fenti tulajdonságú szám, akkor számjegyeit

x_{n} x_{n - 1} ... x_{1} 4

alakban írva a következőket mondhatjuk:

\begin{matrix} \frac{x_{n} x_{n - 1} ... x_{1} 4 \cdot 4}{4 x_{n} ... x_{2} x_{1}} . \end{matrix}

Emiatt

\begin{matrix} 4 \cdot 4 = 16 -ból x_{1} csak 6 lehet, \\ 6 & 4 \cdot 4 = 256 -ból x_{2} csak 5 lehet, \\ 56 & 4 \cdot 4 = 2256 -ból x_{3} csak 2 lehet, \\ 256 & 4 \cdot 4 = 10256 -ból x_{4} csak 0 és \\ x_{5} csak 1 lehet \\ 10256 & 4 \cdot 4 = 410256, azaz x_{6} = 4. \end{matrix}

Innen a számjegyek ciklikusan ismétlődnek, azaz a szám csak

A, A A, ... A A ... A

alakú lehet, s ezek közül a legkisebb

102 564