Kezdőlap


Feladat:	C.59	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/szeptember, 264. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens végtelen sorozatok, C gyakorlat, Mértani sorozat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/február: C.59

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy ,,végtelen sok'' tényezőből álló szorzatnak akkor tulajdonítunk értéket, ha az első $1$ , $2$ , $...$ , $n$ tényezős szorzatok kiszámításával adódó sorozat konvergens. A szorzat értéke ekkor ennek a sorozatnak a határértéke.
A véges tényezős szorzatokban már alkalmazhatók a hatványozás azonosságai:

\begin{matrix} 9 \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot ... \cdot 9^{\frac{1}{3^{n}}} = 9^{1 + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{3^{n}}}, \end{matrix}

és a kitevő mértani sorozatként összegezhető; határértéke

\frac{3}{2}

; és mivel az

f (x) = 9^{x}

exponenciális függvény folytonos, a sorozat határértéke

9^{\frac{3}{2}} = 27