Kezdőlap


Feladat:	C.48	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1986/május, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Exponenciális egyenlőtlenségek, C gyakorlat, Binomiális együtthatók
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: C.48

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

0 pontot kaptak azok, akik az egyenlőtlenséget felírva, logaritmust véve $lg 1985$ és $lg 1986$ helyett beírták a közelítő értékeket. Mivel egyenlőtlenségnél becslünk, nem mindegy, hogy alsó vagy fölső közelítést használunk az adott értékek helyett.
Nem kaptak pontot a hibás, ill. indoklás nélküli dolgozatok sem.
Mivel kevés volt a helyes megoldás, közlünk egy lehetséges bizonyítást.

\begin{matrix} 1986^{1985} = {(1985 + 1)}^{1985} = 1985^{1985} + (\binom{1985}{1}) \cdot & 1985^{1984} + ... + \\ + (\binom{1985}{1983}) \cdot 1985^{2} + (\binom{1985}{1984}) \cdot 1985 + & 1. \end{matrix}

A binomiális tétel szerint kaptuk a fenti 1986 tagú összeget.

1 ≦ k ≦ 1983

esetén felülről becsüljük az

(\binom{1985}{k}) \cdot 1985^{1985 - k}

tagot.

\begin{matrix} (\binom{1985}{k}) \cdot 1985^{1985 - k} = \frac{1985 \cdot 1984 \cdot ... \cdot (1985 - k + 1)}{k!} \cdot 1985^{1985 - k} ≦ \\ ≦ \underset{︸}{1985 \cdot ... \cdot (1985 - k + 1)} k \end{matrix}