Kezdőlap


Feladat:	C.44	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/április, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Terület, felszín, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/október: C.44

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Sokféle, igen érdekes megoldás érkezett. Vázlatosan közöljük ezeket.
Tegyük fel, hogy van ilyen téglatest. Jelölje $a$ , $b$ , $c$ a téglatest éleit. Ekkor az egyenletek

\begin{matrix} 4 a + 4 b + 4 c = 48, & (1) \\ 2 = 2 a b + 2 b c + 2 c a, & (2) \\ 12 = (a b) \cdot c . & (3) \end{matrix}

1. (1)-ből

c = 12 - (a + b)

-t helyettesítve (2)-be és (3)-ba az

\begin{matrix} 1 = a b + (12 - (a + b)) (a + b), & (2') \\ 12 = (a b) (12 - (a + b)), & (3') \end{matrix}

(

a + b

)-re és (

a b

)-re kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk. Ezt megoldva olyan gyököt kapunk, amely a feladat feltételeit nem elégíti ki. Tehát nincs ilyen téglatest.
2. Tekintsük a fenti egyenletrendszert! Jelöljük az éleket nagyság szerint:

a ≦ b ≦ c

. A feladatból:

0 < a, b, c

, tehát (2)-ben

a b, b c, c a < 1

. Ezért legfeljebb

c

él lehet nagyobb vagy egyenlő 1-gyel, hiszen ha

b

és

c

is nagyobb vagy egyenlő mint 1, akkor

b c ≧ 1

. Így

0 < a < b < 1 < c

vagy

0 < a < b < c < 1

. (3)-ból így

0 < a b < 1

miatt

c > 12

-nek kell teljesülnie. Ez pedig ellentmond (1)-nek. Tehát nem létezik ilyen téglatest.
3.

a, b, c > 0

miatt alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget

n = 3

esetén.

\begin{matrix} \frac{a b + b c + c a}{3} ≧ \sqrt[3]{(a b) (b c) (c a)} = \sqrt[3]{{(a b c)}^{2}} . \end{matrix}

A feladatból az egyenlőtlenség bal oldalán

\frac{1}{3}

, jobb oldalán

\sqrt[3]{144}

áll, ez ellentmondás.

Megjegyzés: Itt a három feltételből csak kettőt használtunk, sőt az is látszik, hogy milyen "bőkezűen'' bántunk az adatokkal.
4. Jelöljük most

x_{1}

x_{2}

x_{3}

-mal az éleket! Így (1), (2), (3) így alakul:

\begin{matrix} - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = - 12 & (1'') \\ (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) = 1 & (2'') \\ - x_{1} x_{2} x_{3} = - 12. & (3'') \end{matrix}

A gyökök ‐ együtthatók közti összefüggés értelmében így az éleket az

\begin{matrix} x^{3} - 12 x^{2} + x - 12 = 0 \end{matrix}

(4)

egyenlet valós gyökei adják. (4)-ben (

x - 12

)-t kiemelve a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} (x - 12) (x^{2} + 1) = 0. \end{matrix}

Mint látjuk, ennek az egyenletnek egy valós és két komplex gyöke van, így a fenti kikötéseknek eleget tevő téglatest nem létezik.
2 pont járt a helyes bizonyításért. Az 1. típusú megoldásnál sokan osztottak ismeretlent tartalmazó tényezővel, de nem vizsgálták meg, hogy az osztó lehet-e nulla. A 2.-nál általában

0 < a b < 1

indoklása volt hiányos, ezért 1 pontot adtunk.
Néhányan konkrét eseteket vizsgáltak, csak az egész számokat vették figyelembe. A feladatban azonban nem szerepelt az a kikötés, hogy a téglatest élei egészek. Ezekre a megoldásokra 0 pontot adtunk. Nem kaptak még pontot a nem versenyszerű (osztály nélküli, másolt) dolgozatok.