Kezdőlap


Feladat:	A.813	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Szabó Kristóf (Budapest)
Füzet:	2021/december, 546. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Matematika, Nehéz feladat, Egész együtthatós polinomok, Prímszámok

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $p$ prímszám és $k$ pozitív egész. Legyen továbbá

\begin{matrix} t = \sum_{j = 0}^{\infty} ⌊ \frac{k}{p^{j}} ⌋ . \end{matrix}

a)

Legyen

f (x)

egy egész együtthatós,

1

főegyütthatós,

k

-adfokú polinom, amelynek a konstans tagját osztja

p

. Bizonyítsuk be, hogy létezik

n \in N

, amelyre

p ∣ f (n)

, de

p^{t + 1} ∤ f (n)

b)

Bizonyítsuk be, hogy a fenti állítás éles, azaz létezik olyan egész együtthatós,

1

főegyütthatós,

k

-adfokú

g (x)

polinom, amelynek a konstans tagját osztja

p

, és ha egy

n \in N

esetén

p ∣ g (n)

teljesül, akkor

p^{t} ∣ g (n)

is igaz.