Feladat: A.791 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2021/január, 34 - 35. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adva van egy villanykörte, amely piros, zöld vagy kék színnel tud világítani, és háromállású kapcsolók egy végtelen H halmaza, ahol mindegyik kapcsolónál meg van jelölve a három állás a piros, kék és zöld színekkel. A következőket tudjuk még:
i) Mindegyik kapcsolóállásnál egyértelműen meghatározott színnel világít a villanykörte.
ii) Ha mindegyik kapcsoló ugyanarra az adott színre van állítva, a villanykörte is az adott színnel világít.
iii) Ha két kapcsolóállásnál mindegyik kapcsolóra igaz, hogy különböző állásban van, akkor a két állásnál a villanykörte más színnel világít.
Készítsük el a H bizonyos részhalmazaiból álló U halmazt a következő módon: minden kapcsolóállásnál nézzük meg a villanykörte színét, és tegyük bele az U halmazba azon kapcsolók halmazát, melyek állása megegyezik a villanykörte színével.
Bizonyítsuk be, hogy U ultraszűrőt alkot H-n.
(U ultraszűrő H-n, ha teljesíti a következőket:
a) Az üres halmaz nincs benne U-ban.
b) Ha két halmaz benne van U-ban, a metszetük is benne van U-ban.
c) Ha egy halmaz benne van U-ban, minden nála bővebb H-beli részhalmaz is benne van U-ban.
d) Egy halmaz és H-beli komplementere közül pontosan az egyik van U-ban.)
Lásd még az N. 35.1 feladatot az 1994-es évfolyam májusi számából.


1http://db.komal.hu/KomalHU/showpdf.phtml?tabla=FelHivatkoz&id=41643