Kezdőlap


Feladat:	I.512	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2020/május, 292 - 293. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számítástechnika, informatika, Feladat, Táblázatkezelés, szövegszerkesztés

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A járványok az élővilág kialakulásával egyidősek. Az ilyen típusú populációbiológia rendszerek legtöbb átalakulása több egymás után következő lépésben megy végbe. Ezek a lépések tipikusan sorozatot alkotnak.
A járványterjedés modellezéséhez több-kevesebb paramétert vesznek figyelembe. Az egyik legegyszerűbb modellt, az SEIR-t vizsgáljuk meg táblázatkezelővel. Ebben a modellben a járványterjedés szempontjából négy csoportra osztjuk a populációt:

‐	$S$ susceptible, azaz fogékonyak, még nem estek át a betegségen;

‐	$E$ exposed, azaz lappangó, de még nem fertőző egyedek;

‐	$I$ infectious, azaz fertőzöttek, betegek;

‐	$R$ recovered, azaz gyógyultak.

Az osztályok közötti átalakulás:

S \to E \to I \to R

.
Az emberek megfertőződnek és maguk is fertőzővé válnak, majd meggyógyulnak, vagy sajnos meghalnak. Az utóbbi tragédiával ez az egyszerű modell nem foglalkozik.
A betűk jelöljék, hogy hány egyed tartozik az egyes osztályokba. Vizsgáljuk meg, hogy az osztályok létszáma hogyan változik az időben néhány kezdeti paraméter mellett. Legyen a teljes populáció száma

N

, így ekkor minden időpontban teljesül, hogy

N = S + E + I + R

.
Egy új kórokozó esetén feltételezhetjük, hogy kezdetben a teljes populáció fogékony rá, azaz

S \approx N

. Legyen

‐	$β$ a kórokozó átadási valószínűsége egy fertőző és egy fogékony egyed között;

‐	$σ$ a lappangók fertőzővé válásának sebessége;

‐	$γ$ a betegek meggyógyulásának sebessége.

Ekkor a fogékony egyedek számának változása

Δ S = - β \cdot \frac{I}{N} \cdot S

, ahol az

\frac{I}{N}

hányados a fertőzöttek aránya a teljes populációhoz képest. Minél nagyobb ez az érték, annál gyorsabb a járvány terjedése.
A lappangó esetek száma éppen ennyivel növekszik, miközben egy részük beteggé válik:

\begin{matrix} Δ E = β \cdot \frac{I}{N} \cdot S - σ \cdot E . \end{matrix}

A fertőzöttek száma

σ \cdot

E-vel növekszik, és a meggyógyulókkal csökken:

\begin{matrix} Δ I = σ \cdot E - γ \cdot I . \end{matrix}

A gyógyultak számának változása

\begin{matrix} Δ R = γ \cdot I . \end{matrix}

Szimuláljuk a járvány kialakulását időegységenként (naponta). Minden lépésben számítsuk ki a jelenlegi adatok alapján a változásokat, majd a következő napon a megváltozott értékekkel dolgozzunk:

\begin{matrix} S (n + 1) & \leftarrow S (n) + Δ S (n), & E (n + 1) & \leftarrow E (n) + Δ E (n), \\ I (n + 1) & \leftarrow I (n) + Δ I (n) & és & R (n + 1) & \leftarrow R (n) + Δ R (n) . \end{matrix}

A szimulációt legalább 150 napra végezzük el az alábbiak szerint:

$•$	Az induló paramétereket a táblázat első néhány sorában lehessen megadni, helyüket feliratokkal jelezzük. Példaként $N = 10 000 000$ ; $β = 0, 9$ ; $σ = 0, 1$ ; $γ = 0, 2$ .

$•$	Határozzuk meg a táblázat két cellájában, hogy hányadik nap lesz a fertőző betegek száma maximális és mekkora ez az érték.

$•$	Ábrázoljuk az $S$ , $E$ , $I$ , $R$ osztályok létszámát az idő függvényében. A diagram értelmezését feliratokkal segítsük.

Beküldendő egy tömörített i512.zip állományban a munkafüzet, valamint egy rövid dokumentáció, amelyből kiderül az alkalmazott táblázatkezelő neve és verziószáma.