Egy $M$ tömegű űreszköz $r$ sugarú körpályán, állandó $v_0$ nagyságú sebességgel kering a Nap körül, mozgását csak a Nap gravitációs hatása befolyásolja. Az űreszközt a Földről arra utasítják, hogy indítson útjára egy teljesen fekete, gömb alakú szondát, amelynek tömege $m$, sugara $R$, anyagának sűrűsége pedig $\varrho$. A kibocsátás után a szonda ugyanazon a pályán kering a Nap körül, mint a kibocsátó. Tegyük fel, hogy anyaga jó hővezető, így a gömb hőmérséklete pályára állása után állandó, $T=180$ K. A Nap sugárzását tekintsük egy $T_{\odot }=5778$ K hőmérsékletű abszolút fekete test sugárzásának! A Nap tömege $M_{\odot }=1\mathrm{,}99\cdot {10}^{30}$ kg, sugara $R_{\odot }=6\mathrm{,}96\cdot {10}^8$ m, luminozitása (összes sugárzási teljesítménye) pedig $L_{\odot }=3\mathrm{,}83\cdot {10}^{26}$ W.
$a)$ Határozzuk meg számszerűen az űreszköz és a szonda pályájának $r$ sugarát csillagászati egységben kifejezve! $1\text{CSE}=1\mathrm{,}496\cdot {10}^8$ km.
$b)$ Számítsuk ki a gömbre eső fotonok által a szondára kifejtett erő $F_{\text{f}}$ nagyságát! A választ $r$, $R$, $L_{\odot }$ és $c$ függvényében adjuk meg, ahol $c$ a fénysebesség vákuumban.
$c)$ Határozzuk meg a gömb $v\text{'}$ sebességének nagyságát, ha mozgását csak a Nap gravitációs hatása és a sugárnyomás befolyásolja! A választ az $r$, $R$, $L_{\odot }$, $\varrho$, $v_0$ és $c$ mennyiségekkel kifejezve adjuk meg!
Azért, hogy a szonda az $r$ sugarú körpályára kerülhessen, kicsit le kell lassítani. Ezt úgy érik el, hogy az űreszköz mozgásával ellentétes irányban, ahhoz képest $\Delta v$ nagyságú sebességgel indítják. Az űreszköz a saját mozgásának stabilitása érdekében legfeljebb $\Delta p_{\text{max}}=1{\text{kg m s}}^{-1}$ nagyságú impulzust adhat át a szondának.
$d)$ Számítsuk ki numerikusan a gömb sugarának legnagyobb ($R_{\text{max}}$) értékét, amely mellett az űreszköz mozgása még stabil marad! Tegyük fel, hogy $m\ll M$ és $\Delta v=v_0-v\text{'}\ll v_0$! (Felhasználhatjuk, hogy $\sqrt[]{1-x}\approx 1-x/2$, ha $|x|\ll 1$.) A hiányzó adatokra adjunk észszerű nagyságrendi becslést!