Feladat: 2017. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2017/szeptember, 324. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2017/október: 2017. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy vadász és egy láthatatlan nyúl egy játékot játszik az euklideszi síkon. A nyúl A0 kiindulópontja és a vadász B0 kiindulópontja egybeesnek. A játék (n-1)-edik menete után a nyúl az An-1 pontban, a vadász a Bn-1 pontban van. A játék n-edik menetében a következő három dolog történik, ebben a sorrendben:

(i)A nyúl láthatatlan módon egy olyan An pontba megy, amire An-1 és An távolsága pontosan 1.
(ii)Egy nyomkövető eszköz megad egy Pn pontot a vadásznak. Az eszköz által a vadásznak nyújtott információ mindössze annyi, hogy Pn és An távolsága legfeljebb 1.
(iii)A vadász látható módon egy olyan Bn pontba megy, amire Bn-1 és Bn távolsága pontosan 1.

Igaz-e, bárhogyan mozogjon is a nyúl, és bármilyen pontokat jelezzen is a nyomkövető eszköz, hogy a vadász mindig meg tudja úgy választani a mozgását, hogy 109 menet után a távolság közte és a nyúl között legfeljebb 100 legyen?