Kezdőlap


Feladat:	I.423	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Füzet:	2017/február, 101 - 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Programozás, algoritmusok

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy $m$ tömegű pontszerű testet egy $D$ rugóállandójú rugóra függesztünk, majd egyensúlyi helyzetéből függőlegesen kitérítjük, akkor a test harmonikus rezgőmozgást végez. A mozgással az I. 417. feladatban foglalkoztunk. A feladatot általánosítjuk, és most azt vizsgáljuk, hogy milyen mozgás alakul ki akkor, ha a kitérés kezdetben nem függőleges.
A test mozgásának leírása igen összetett, a részletek iránt érdeklődőknek ajánljuk a Fizikai Szemle 2006/10. számát: http://fiztan.phd.elte.hu/nyilt/publokt/Tel-200610.pdf. A pontszerű test mozgásegyenletének megoldása helyett alkalmazzunk szimulációt a mozgás leírására.
Legyen egy $D$ rugóállandójú húzó-nyomó rugó, amely a kezdeti $l_{0}$ hosszúságtól való $Δ l$ megnyúlással vagy összenyomással ellentétes irányú, és azzal arányos $F_{rugó} = - D \cdot Δ l$ erőt fejt ki. Az elhanyagolható tömegű rugó egyik vége egy pontban rögzített (e körül szabadon elfordulhat), másik végén egy $m$ tömegű test található. Könnyen látható, hogy ha a testet egy pontban kezdősebesség nélkül elengedjük, akkor egy olyan függőleges síkban mozog, amely a rugó rögzítési pontját és a test kezdőpontját is tartalmazza. Feladatunk az, hogy ennek a síkmozgásnak a pályáját megrajzoljuk.
A szimulációt a következő leírás alapján végezzük:

1.	Vonatkoztatási rendszerként célszerű olyan derékszögű koordináta-rendszert használni, amelynek $y$ tengelye függőleges, origója pedig a rugó felfüggesztési pontja.

2.	Kezdetben (és minden későbbi pillanatban) ismerjük a test $r (x, y)$ helyvektorát, amiből kiszámítható a nyújtatlanul $l_{0}$ hosszúságú rugó aktuális hossza és $Δ l$ megnyúlása vagy összenyomódása.

3.	A rugóerő nagyságát a $F_{rugó} = - D \cdot Δ l$ képletből kapjuk, az erő irányát a test helyzetéből tudjuk meghatározni.

4.	A testre a rugón kívül még a nehézségi erő hat. Az erőhatások függetlenségének elve alapján mindkét erőt felbonthatjuk a koordináta-rendszer tengelyeinek megfelelően, így ki tudjuk számítani az összegüket, tehát a testre ható eredő erő koordinátáit.

5.	Ezek alapján megkapható a test $a$ pillanatnyi gyorsulásvektora, illetve annak koordinátái.

A test az adott helyzetéből

Δ t

idő alatt elmozdul. A

Δ r

elmozdulásvektort közelítsük a pillanatnyi sebesség és gyorsulás értékeiből a

\begin{matrix} Δ r = v \cdot Δ t + \frac{1}{2} a \cdot {(Δ t)}^{2} \end{matrix}

képlet segítségével.

7.	A test pillanatnyi $v$ sebességét $Δ t$ idővel később a $v (Δ t) = v + a \cdot Δ t$ kifejezéssel adjuk meg.

8.	Helyezzük tehát a testet az új helyére, végezzük el a rajzolást, majd folytassuk a szimulációt a 2. ponttól.

A program legyen felhasználóbarát, tehát oldjuk meg, hogy a fizikai paramétereket (

m

D

l_{0}

Δ t)

és a test

r (x, y)

kezdeti pozícióját a szimuláció megkezdése előtt a felhasználó megadhassa.
Beküldendő egy i423.zip tömörített mappában a szimulációt végző program forráskódja, a fordításhoz és futtatáshoz szükséges környezet leírása. A megoldáshoz a versenykiírásban szereplő fejlesztői rendszerek egyike, illetve ahhoz egyszerűen telepíthető ingyenes grafikus kiegészítő könyvtár (pl. SFML) használható.