Feladat: 2016. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2016/szeptember, 324. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Számelrendezések, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2016/október: 2016. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Határozzuk meg azokat a pozitív egész n számokat, amelyekre egy n×n-es táblázat minden mezőjére az I, M, O betűk valamelyikét tudjuk írni úgy, hogy:

•minden sorban és minden oszlopban a mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva; és
•minden átlóban, ha az átlóban lévő mezők száma 3 többszöröse, akkor ezen mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva.


Megjegyzés: Egy n×n-es táblázat sorait és oszlopait természetes módon 1-től n-ig számozhatjuk. Így minden mezőhöz egy pozitív egészekből álló (i,j) számpár tartozik, ahol 1≤i,j≤n. n>1 esetén a táblázatnak 4n-2 átlója van, amelyek kétfélék lehetnek. Egy első típusú átló az összes (i,j) mezőkből áll, amelyekre i+j egy adott konstans, egy második típusú átló pedig az összes (i,j) mezőkből áll, amelyekre i-j egy adott konstans.