Feladat: 2016. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2016/október, 428 - 431. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb áramkörök
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2016/november: 2016. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Nemlineáris dinamika elektromos áramkörökben (10 pont).
Bevezetés. Bistabil, nemlineáris félvezető áramköri elemeket (pl. tirisztorokat) széles körben alkalmaznak az elektronikában kapcsolóként és elektromágneses rezgések előállításához. A tirisztorok alkalmazásának elsődleges területe a váltóáram szabályozása a teljesítményelektronikában, például amikor megawattos nagyságrendben kell váltóáramot egyenirányítani. A bistabil elemek önszabályozó jelenségek modelljeként is szolgálhatnak a fizikában (ezzel foglalkozik a feladat B része), a biológiában (lásd a C részt) és a modern tudomány más, nemlineáris jelenségekkel foglalkozó területein.
Célkitűzések. Instabilitások és nemtriviális dinamika tanulmányozása nemlineáris I‐ V karakterisztikájú elemeket tartalmazó áramkörökben. Megmutatni ezen áramkörök felhasználási lehetőségeit a mérnöki gyakorlatban és a biológiai rendszerek modelezésben.
A. rész. Stacionárius állapotok és instabilitások (3 pont)
Az 6. ábra egy nemlineáris X áramköri elem úgynevezett S-alakú I-U karakterisztikáját mutatja. Az Ut=4,00 V (tartófeszültség) és a Uk=10,0 V (küszöbfeszültség) közötti feszültségtartományban az I‐ U karakterisztika többértékű. Az egyszerűség kedvéért a 6. ábrán látható grafikon szakaszonként lineáris (minden ág egy egyenes szakasz), továbbá a felső ág meghosszabbítása átmegy az origón. Ez a közelítés jól leír egy valódi tirisztort.


 

6. ábra. Az X nemlineáris elem I‐ U karakterisztikája
 

A.1. A grafikon alapján határozzuk meg az X áramköri elem Rbe és Rki ellenállását az I‐ U karakterisztika felső, illetve alsó ágában! A középső ágat a következő egyenlet írja le:
I=I0-URk.

Határozzuk meg az I0 és Rk paraméterek értékét! (0,4 pont)
Az X áramköri elem sorba van kötve egy R ellenállással, egy L induktivitással és egy E ideális feszültségforrással (lásd a 7. ábrát). Az áramkört stacionárius állapotban lévőnek nevezzük, ha az áramerősség I(t)=állandó.


 

7. ábra. Áramkör az X elemmel, az R ellenállással, az L induktivitással és az E feszültségforrással
 

A.2. Hány stacionárius állapota lehet a 7. ábrán látható áramkörnek, ha E egy rögzített érték és R=3,00Ω? Hogyan módosul a válasz, ha R=1,00Ω? (1 pont)
A.3. Legyen a 7. ábrán látható áramkörben R=3,00Ω, L=1,00μH és E=15,0V. Határozzuk meg az X áramköri elem Ist áramának és Ust feszültségének értékét a stacionárius állapotban! (0,6 pont)
A 7. ábrán látható áramkör stacionáris állapotban van, ahol I(t)=Ist. Ezt a stacionárius állapotot stabilnak nevezzük, ha az áramerősség egy kis változtatás (növelés vagy csökkentés) után visszatér a stacionárius állapotba. Ha viszont a rendszer egyre jobban eltávolodik a stacionárius állapottól, akkor ezt az állapotot instabilnak nevezzük.
A.4. Használjuk az A.3. kérdésben szereplő numerikus értékeket, és tanulmányozzuk az I(t)=Ist áramú stacionárius állapot stabilitását! Stabil vagy instabil ez az állapot? (1 pont)
 
B. rész. Bistabil, nemlineáris áramköri elemek a fizikában: rádióadó (5 pont)
Most egy új áramköri elrendezést vizsgálunk (lásd a 8. ábrát). Ez alkalommal az X nemlineáris áramköri elem párhuzamosan van kötve egy C=1,00μF kapacitású kondenzátorral. Ezt aztán sorbakötjük egy R=3,00Ω ellenállású ellenállással és egy E=15,0V állandó feszültségű, ideális feszültségforrással. Kiderül, hogy az áramkör rezgéseket végez, azaz az X nemlineáris áramköri elem az I‐ U karakterisztika egyik ágáról a másikra ugrik egy ciklus során.


 

8. ábra. Áramkör az X elemmel, az R ellenállással, az L induktivitással és az E feszültségforrással
 

 
B.1. Rajzoljuk le a rezgési ciklust az I‐ U grafikonon, és adjuk meg az irányát is (óramutató járásával megegyező vagy azzal ellentétes). Indokoljuk a választ egyenletekkel és vázlatokkal! (1,8 pont)
 
B.2. Vezessünk le kifejezéseket azon t1 és t2 időtartamokra, amelyeket a rendszer az I‐ V grafikon egyes ágain tölt a rezgési ciklus során! Számítsuk ki ezek numerikus értékét is! Határozzuk meg a rezgés T periódusidejét is, feltételezve, hogy az az idő, ami az I‐ U grafikon egyik ágáról a másik ágára való átugráshoz szükséges, elhanyagolható! (1,9 pont)
 
B.3. Becsüljük meg a nemlineáris elemen egy ciklus alatt disszipálódó átlagos P teljesítményt! Elég a nagyságrendet meghatározni. (0,7 pont)
A 8. ábrán látható áramkört egy rádióadóhoz használjuk. Az X áramköri elemet egy s hosszúságú lineáris antenna (egy hosszú, egyenes vezeték) egyik végéhez csatlakoztatjuk, a vezeték másik vége szabad. Az antennában egy elektromágneses állóhullám alakul ki. Az elektromágneses hullám sebessége az antenna mentén ugyanakkora, mint vákuumban. Az adó a rendszer alapharmonikusát használja, melynek periódusideje a B.2. részben meghatározott T.
 
B.4. Mi az s hosszúság optimális értéke, feltéve, hogy nem haladhatja meg az 1km-t? (0,6 pont)
 
C. rész. Bistabil, nemlineáris áramköri elemek a biológiában:
neurisztor (2 pont)
A feladat ezen részében a bistabil, nemlineáris áramköri elemet egy biológiai folyamat modelljeként vizsgáljuk. Egy neuron az emberi agyban a következő tulajdonsággal rendelkezik: ha egy külső jel ingerli, akkor egyetlen rezgést végez, majd visszatér az eredeti állapotába. Ezt a tulajdonságot ingerelhetőségnek nevezzük. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően impulzusok haladhatnak végig az idegrendszert alkotó, csatolt neuronok hálózatán. Azt a félvezető csipet, amelyet az ingerelhetőség és a jelterjedés utánzására készítenek, neurisztornak nevezik (a neuron és a tranzisztor szavakból).
Megkísérlünk egy egyszerű neurisztort egy olyan áramkörrel modellezni, mely tartalmazza az eddig vizsgált X nemlineáris elemet. Ezért a 8. ábrán látható áramkörben az E feszültséget lecsökkentjük E'=12,0V-ra. A rezgések megszűnnek, és a rendszer eléri stacionárius állapotát. Aztán a feszültséget hirtelen újra E=15,0V-ra növeljük, majd τ időtartam után (ahol τ<T) ismét E' értékre állítjuk (lásd a 9. ábrát). Kiderül, hogy van egy bizonyos kritikus τk érték, és a rendszer minőségileg más viselkedést mutat, ha τ<τk, illetve ha τ>τk.


 

9. ábra. A feszültségforrás feszültsége az idő függvényében
 

C.1. Vázoljuk fel az X áramköri elemen folyó IX(t) áramerősséget az idő függvényében ha τ<τk, illetve ha τ>τk! (1,2 pont)
C.2. Fejezzük ki paraméteresen és határozzuk meg numerikusan is, hogy mekkora az a τk kritikus idő, ahol a viselkedés megváltozik. (0,6 pont)
C.3. Neurisztor-e az áramkör τ=1,00⋅10-6s érték esetén? (0,2 pont)