Kezdőlap


Feladat:	A.624	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/október, 420. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nehéz feladat, Számsorozatok, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $x_{1}, x_{2}, ... \in [0,1]$ végtelen számsorozathoz létezik olyan $C > 0$ szám, hogy bármely $r$ pozitív egészhez vannak olyan $n$ , $m$ pozitív egészek, amikre

\begin{matrix} | n - m | \geq r és | x_{n} - x_{m} | < \frac{C}{| n - m |} . \end{matrix}

b)

Mutassuk meg, hogy minden olyan

C > 0

számhoz létezik olyan

x_{1}, x_{2}, ... \in [0,1]

végtelen számsorozat és olyan

r

pozitív egész, hogy

\begin{matrix} | x_{n} - x_{m} | > \frac{C}{| n - m |} \end{matrix}

teljesül minden olyan

n

m

pozitív egész párra, amikre

| n - m | \geq r