Kezdőlap


Feladat:	2015. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2015/október, 430 - 433. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Atomreaktor
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2015/november: 2015. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. Nukleáris reaktor tervezése (összesen 10 pont).
Az urán a természetben ${UO}_{2}$ formájában fordul elő, és az uránatomoknak csupán 0,720%-a $^{235} U$ . Neutron hatására az $^{235} U$ könnyen elhasad, melynek során 2-3 nagy mozgási energiájú hasadványneutron is kibocsátódik. Ennek a hasadásnak a valószínűsége megnő, ha a hasadást kiváltó neutronok mozgási energiája kicsi. Tehát a hasadványneutronok mozgási energiájának csökkentésével az $^{235} U$ magok hasadási láncreakciója idézhető elő. Ez képezi az energiatermelő nukleáris reaktor (NR) elvét.
Egy tipikus NR egy $H$ magasságú, $R$ sugarú hengeres tartályból áll, ami az ún. moderátoranyaggal van feltöltve. Ebben tengelyirányban hengeres csövek, az ún. üzemanyag-kazetták helyezkednek el négyzetrácsba rendezve, melyek belsejében $H$ magasságú, szilárd állapotban lévő, természetes ${UO}_{2}$ üzemanyagrudak találhatók. A kazettából kilépő hasadványneutronok ütköznek a moderátorral, így energiát veszítenek, hogy aztán a környező kazettákat a hasításhoz szükséges kicsi energiával érjék el. A 6. ábrán csak a feladat szempontjából releváns alkatrészek láthatók (pl. a szabályozórudak és a hűtőközeg nem). A hasadás miatt az üzemanyagrudakban fejlődő hő a hosszirányban áramló hűtőközegnek adódik át. Ebben a feladatban az üzemanyagrudakban (A rész), a moderátorban (B rész) és a hengeres geometriájú NR-ben (C rész) zajló fizikai folyamatokat tanulmányozzuk.

6. ábra. A nukleáris reaktor (NR) vázlatos rajza.
(a) Egy üzemanyag-kazetta nagyított képe (1 ‐ üzemanyagrúd).
(b) Az NR képe (2 ‐ üzemanyag-kazetta).
(c) NR felülnézetben (3 ‐ az üzemanyag-kazetták négyzetrácsba rendezve;
4 ‐ tipikus neutronpályák).

A rész. Az üzemanyagrúd

{UO}_{2}

adatai: móltömege

M = 0, 271 {kg mol}^{- 1}

; sűrűsége

ϱ = 1, 060 {kg m}^{- 3}

; olvadáspontja

T_{olv} = 3, 138 \cdot 10^{3} K

; hővezetési tényezője

λ = 3, 280 Wm^{- 1}K^{- 1}

.
A.1. Tekintsük a következő hasadási reakciót, melyben egy álló

^{235} U

elnyel egy elhanyagolható mozgási energiájú neutront:

\begin{matrix} ^{235} U +^{1} n \to^{94} Zr +^{140} Ce + 2^{1} n + Δ E . \end{matrix}

Becsüljük meg a hasadás során felszabaduló teljes

Δ E

energiát MeV-ben! Az atommagtömegek:

m (^{235} U) = 235, 044 u

;

m (^{94} Zr) = 93, 9063 u

;

m (^{140} Ce) = 139,905 u

;

m (^{1} n) = 1, 00867 u

és

1 u = 931, 502 MeV c^{- 2}

. A töltés megmaradásával ne foglalkozzunk. (0,8 pont)
A.2. Adjunk becslést a természetes

{UO}_{2}

-ban lévő

^{235} U

atomok térfogategységre eső

N

számára! (0,5 pont)
A.3. Tegyük fel, hogy a neutronfluxus-sűrűség az üzemanyagban homogén, nagysága

φ = 2, 000 \cdot 10^{18} m^{- 2} s^{- 1}

. Egy

^{235} U

atommag hasadási hatáskeresztmetszete (a céltárgy atommag effektív keresztmetszete)

σ_{f} = 5, 400 \cdot 10^{- 26} m^{2}

. Határozzuk meg az üzemanyagrúdban térfogategységenként fejlődő hő

Q

keletkezési ütemét (W m

^{- 3}

-ben), ha a hasadásból származó energia

80, 00 %

-a alakul hővé!

1 MeV = 1, 602 \cdot 10^{- 13} J

. (1,2 pont)
A.4. Az üzemanyagrúd közepének (

T_{c}

) és felületének (

T_{s}

) hőmérséklete közötti különbség állandósult állapotban

T_{c} - T_{s} = k F (Q, a, λ)

alakban írható fel, ahol

k = \frac{1}{4}

egy dimenziótlan állandó,

a

pedig az üzemanyagrúd sugara. Határozzuk meg

F (Q, a, λ)

-t dimenzióanalízissel! Itt

λ

{UO}_{2}

hővezetési tényezője. (0,5 pont)
A.5. A hűtőközeg kívánt hőmérséklete

5, 770 \cdot 10^{2}

K. Adjunk becslést meg az üzemanyagrúd a sugarának

a_{u}

felső határára! (1,0 pont)

B rész. A moderátor
Tekintsünk egy kétdimenziós rugalmas ütközést egy 1 u tömegű neutron és egy

A \cdot u

tömegű moderátoratom között. Az ütközés előtt mindegyik moderátoratomot tekintsük nyugvónak a laboratóriumi vonatkoztatási rendszerben (LR). Jelölje

\vec{v_{b}}

és

\vec{v_{a}}

a neutron sebességvektorát rendre az ütközés előtt (before) és után (after) az LR-ben. Legyen

\vec{v_{m}}

a tömegközépponti (TKP) vonatkoztatási rendszer sebességvektora az LR-hez képest,

ϑ

pedig a neutron szóródási szöge a TKP rendszerben. Az ütközésekben résztvevő összes részecske nemrelativisztikus sebességgel mozog.
B.1. A 7. ábrán látható az ütközés vázlata az LR-ben, ahol

ϑ_{L}

a szóródási szög. Vázoljuk fel az ütközést a TKP rendszerben!

7. ábra. Az ütközés a laboratóriumi rendszerben.
1 ‐ a neutron az ütközés előtt; 2 ‐ a neutron az ütközés után;
3 ‐ moderátoratom ütközés előtt; 4 ‐ moderátoratom ütközés után

Tüntessük fel a részecskék sebességvektorát az

1

-es,

2

-es és

3

-as állapotokban

\vec{v_{b}}

\vec{v_{a}}

és

\vec{v_{m}}

segítségével! Jelöljük be a

ϑ

szóródási szöget is! (1,0 pont)
B.2. Adjuk meg a neutron

v

, illetve a moderátoratom

V

ütközés utáni sebességét a TKP rendszerben

A

és

v_{b}

segítségével! (1,0 pont)
B.3. Fejezzük ki a

G (α, ϑ) = E_{a} / E_{b}

mennyiséget, ahol

E_{b}

és

E_{a}

a neutron LR-beli mozgási energiája rendre az ütközés előtt és után, valamint

\begin{matrix} α \equiv {(\frac{A - 1}{A + 1})}^{2}! \end{matrix}

(1,0 pont)

B.4. Tegyük fel, hogy az előző kifejezés érvényes

D_{2} O

molekulára is. Számítsuk ki a neutron lehetséges legnagyobb relatív energiaveszteségét, az

f_{l} \equiv \frac{E_{b} - E_{a}}{E_{b}}

mennyiséget,

D_{2} O

(20 u) moderátor esetén. (0,5 pont)

C rész. A nukleáris reaktor
Ahhoz, hogy az NR-t állandó

ψ

neutronfluxussal működtessük (állandósult állapot), az elszökő neutronokat a reaktorban keletkező többletneutronoknak pótolniuk kell. Egy hengeres geometriájú reaktornál a neutronok szökési üteme

k_{1} [{(2, 405 / R)}^{2} + {(π / H)}^{2}] ψ

, a többletneutronok keletkezési üteme pedig

k_{2} ψ

. A

k_{1}

és

k_{2}

állandók az NR anyagi tulajdonságaitól függenek.
C.1. Tekintsünk egy NR-t, melyre

k_{1} = 1, 021 \cdot 10^{- 2} m

és

k_{2} = 8, 787 \cdot 10^{- 3} m^{- 1}

. Figyelembe véve, hogy adott térfogat mellett szeretnénk minimalizálni a szökési ütemet a hatékony üzemelés érdekében, határozzuk meg az NR méreteit állandósult állapotban! (1,5 pont)
C.2. Az üzemanyag-kazetták négyzetrácsba vannak rendezve (6/c. ábra), a legközelebbi szomszédok közötti távolság 0,286 m. Az üzemanyag-kazetták effektív sugara (mintha tömörek lennének)

3, 617 \cdot 10^{- 2} m

. Becsüljük meg az üzemanyag-kazetták

F_{n}

számát a reaktorban, valamint az NR állandósult állapotban történő üzemeltetéséhez szükséges

{UO}_{2}

anyag

M

tömegét! (1,0 pont)