Kezdőlap


Feladat:	2015. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2015/október, 425 - 427. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magfúzió, Nemzetközi Fizika Diákolimpia, A Nap energiatermelése, Neutrínó
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2015/november: 2015. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Napból érkező részecskék (összesen 10 pont).
A Nap felületéről érkező fotonok és a belsejéből érkező neutrínók a Nap belső és külső hőmérsékletéről adhatnak információt, valamint megerősítik, hogy a Nap a benne zajló nukleáris folyamatok miatt ragyog.
A feladatban a következő adatokat használhatjuk: a Nap tömege: $M_{⊙} = 2, 00 \cdot 10^{30}$ kg, a Nap sugara: $R_{⊙} = 7, 00 \cdot 10^{8}$ m, a Nap luminozitása (egységnyi idő alatt kisugárzott energia): $L_{⊙} = 3, 85 \cdot 10^{26}$ W és a Föld‐Nap átlagos távolsága: $d_{⊙} = 1, 50 \cdot 10^{11}$ m.
Néhány függvény határozatlan integrálja:

\begin{matrix} \int x e^{a x} d x & = (\frac{x}{a} - \frac{1}{a^{2}}) e^{a x} + állandó, & (i) \\ \int x^{2} e^{a x} d x & = (\frac{x^{2}}{a} - \frac{2 x}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}}) e^{a x} + állandó, & (ii) \\ \int x^{3} e^{a x} d x & = (\frac{x^{3}}{a} - \frac{3 x^{2}}{a^{2}} + \frac{6 x}{a^{3}} - \frac{6}{a^{4}}) e^{a x} + állandó. & (iii) \end{matrix}

A rész. A Naptól jövő sugárzás
A.1. Tegyük fel, hogy a Nap abszolút fekete testként sugároz. Ezt felhasználva határozzuk meg a Nap

T_{⊙}

felszíni hőmérsékletét! (0,3 pont)
A napsugárzás spektrumát jó közelítéssel a Wien-féle eloszlás adja meg. Eszerint a Napból a Föld egy adott felületére egységnyi idő alatt, egységnyi frekvenciatartományban érkező energia:

\begin{matrix} u (f) = A \frac{R_{⊙}^{2}}{d_{⊙}^{2}} \frac{2 π h}{c^{2}} f^{3} exp (- h f / k_{B} T_{⊙}), \end{matrix}

ahol

f

a frekvencia,

A

pedig a bejövő sugárzás irányára merőleges felület nagysága.²
Ezek után tekintsünk egy, a beeső napsugárzás irányára merőlegesen elhelyezett,

A

felületű, félvezető anyagból készült, vékony napelemet.
A.2. A Wien-közelítést felhasználva fejezzük ki a napelem felületére beeső napsugárzás teljes

P_{be}

teljesítményét az

A

R_{⊙}

d_{⊙}

T_{⊙}

paraméterekkel, valamint a

c

h

k_{B}

fizikai állandókkal! (0,3 pont)
A.3. Fejezzük ki az egységnyi idő alatt, egységnyi frekvenciatartományban a napelem felületére beeső fotonok

n_{γ} (f)

számát az

A

R_{⊙}

d_{⊙}

T_{⊙}

f

paraméterekkel, valamint a

c

h

k_{B}

fizikai állandókkal! (0,2 pont)
A félvezető anyag, amiből a napelem készült,

E_{g}

szélességű tiltott sávval rendelkezik.³ Alkalmazzuk a következő modellt. Minden,

E \geq E_{g}

energiájú foton egy elektront gerjeszt a tiltott sáv fölé. Ez az elektron

E_{g}

energiával járul hozzá a hasznos kimenő energiához, az esetleges többletenergiája hő formájában disszipálódik (nem hasznosul).
A.4. Legyen

x_{g} = h f_{g} / k_{B} T_{⊙}

, ahol

E_{g} = h f_{g}

. Fejezzük ki a napelem

P_{ki}

hasznos kimenő teljesítményét az

x_{g}

A

R_{⊙}

d_{⊙}

T_{⊙}

paraméterekkel, valamint a

c

h

k_{B}

fizikai állandókkal! (1,0 pont)
A.5. Fejezzük ki a napelem

η

hatásfokát

x_{g}

segítségével! (0,2 pont)
A.6. Ábrázoljuk vázlatosan

η

-t az

x_{g}

függvényében! Az

x_{g} = 0

és az

x_{g} \to \infty

esetén érvényes értékeket is tüntessük fel. Mekkora az

η (x_{g})

függvény meredeksége

x_{g=0}

és

x_{g} \to \infty

esetén? (1,0 pont)
A.7. Jelöljük

x_{0}

-lal

x_{g}

azon értékét, ahol

η

maximális. Írjuk fel azt a harmadfokú egyenletet, amiből

x_{0}

meghatározható! Adjunk becslést

x_{0}

értékére

\pm 0, 25

pontossággal! Ezt felhasználva számoljuk ki

η (x_{0})

értéket! (1,0 pont)
A.8. Tiszta szilícium esetén

E_{g} = 1, 11 eV

. Ezt az adatot felhasználva, számoljuk ki a szilíciumból készült napelem

η_{Si}

hatásfokát! (0,2 pont)
A 19. század végén Kelvin és Helmholtz (KH) egy hipotézissel álltak elő a Nap sugárzásának magyarázatára. Feltételezték, hogy a Nap kezdetben egy óriási, elhanyagolható sűrűségű,

M_{⊙}

tömegű porfelhő volt, amely folyamatosan húzódott össze. A Nap sugárzása ‐ feltevésük szerint ‐ származhat a lassú zsugorodás során felszabaduló gravitációs potenciális energiából.
A.9. Tegyük fel, hogy a Nap egyenletes tömegeloszlású. Adjuk meg a Nap jelenlegi

Ω

gravitációs potenciális energiáját a

G

gravitációs állandó,

M_{⊙}

és

R_{⊙}

segítségével! (0,3 pont)
A.10. A KH-hipotézis alapján becsüljük meg azt a legnagyobb lehetséges

τ_{KH}

időt (években megadva), ameddig a Nap ragyogni tudna! Tételezzük fel, hogy ezen idő alatt a Nap luminozitása állandó. (0,5 pont)
A fenti módon kiszámolt

τ_{KH}

idő nem egyeztethető össze a Naprendszer ‐ meteoritok tanulmányozásával kapható ‐ becsült életkorával. Ez azt mutatja, hogy a Nap energiaforrása nem lehet tisztán gravitációs eredetű.

B rész. A Napból jövő neutrínók
1938-ban Hans Bethe azt állította, hogy a Nap energiája a benne levő hidrogén héliummá történő magfúziójából származik. A nettó magreakció:

\begin{matrix} 4^{1} H \to^{4} He + 2 e^{+} + 2 ν_{e} . \end{matrix}

A reakcióban keletkező

ν_{e}

,,elektronneutrínók'' tömege zérusnak vehető. Ezek a részecskék a Napból kiszabadulnak, és a Földön történő detektálásuk alátámasztja a magreakciók lezajlását a Nap belsejében. A neutrínók által elszállított energia elhanyagolható ebben a feladatban.
B.1. Számítsuk ki a Földet elérő neutrínók számának

Φ_{ν}

fluxussűrűségét

m^{- 2} s^{- 1}

egységben! A fenti reakcióban

Δ E = 4, 0 \cdot 10^{- 12} J

energia szabadul fel. Tételezzük fel, hogy a Nap által kisugárzott energia teljes mértékben ebből a reakcióból származik! (0,6 pont)
A Nap magjából a Földig tartó útjuk során a

ν_{e}

elektronneutrínók egy része más típusú,

ν_{x}

neutrínókká alakul át.⁴ A detektor a

ν_{x}

neutrínókat

\frac{1}{6}

akkora hatásfokkal érzékeli, mint amekkora hatásfokkal a

ν_{e}

neutrínókat. Ha nem volna neutrínóátalakulás, akkor egy év alatt átlagosan

N_{1}

számú neutrínó detektálását várnánk. Azonban az átalakulás miatt a valóságban egy év alatt átlagosan

N_{2}

számú neutrínót (

ν_{e}

-t és

ν_{x}

-t együttesen) detektálnak.
B.2. Határozzuk meg

N_{1}

és

N_{2}

segítségével, hogy a

ν_{e}

neutrínók mekkora

r

hányada alakul át

ν_{x}

neutrínóvá! (0,4 pont)
Ahhoz, hogy a neutrínókat észlelni tudjuk, nagy, vízzel töltött detektorokat építünk. Habár a neutrínók anyaggal való kölcsönhatása meglehetősen ritka, olykor elektronokat löknek ki a detektorbeli vízmolekulákból. Ezek a nagyenergiájú elektronok nagy sebességgel hatolnak át a vízen, mely folyamat során elektromágneses sugárzást bocsátanak ki. Amíg egy ilyen elektron sebessége nagyobb, mint a fény sebessége az

n

törésmutatójú vízben, a sugárzás (ún. Cserenkov-sugárzás) kúp alakban bocsátódik ki.
B.3. Tételezzük fel, hogy a neutrínó által kilökött elektron a vízben való haladása során állandó ütemben, időegységenként

α

energiát veszít. Határozzuk meg a neutrínó által az elektronnak átadott energiát

(E_{átadott})

α

Δ t

n

m_{e}

és

c

segítségével, ha az elektron

Δ t

ideig bocsát ki Cserenkov-sugárzást! (Tételezzük fel, hogy az elektron a neutrínóval való kölcsönhatása előtt nyugalomban volt.) (2,0 pont)
A Nap belsejében a hidrogén héliummá történő fúziója több lépésben történik. Az egyik ilyen lépés során

^{7}

Be atommag (nyugalmi tömege

m_{Be}

) keletkezik. Ezután ez az atommag egy elektront nyelhet el, melynek folyamán egy

^{7}

Li atommag (nyugalmi tömege

m_{Li} < m_{Be}

) és egy

ν_{e}

neutrínó keletkezik. A megfelelő magreakció:

\begin{matrix} ^{7} Be + e^{-} \to^{7} Li + ν_{e} . \end{matrix}

Ha egy nyugalomban levő Be atommag (

m_{Be} = 11, 5 \cdot 10^{- 27}

kg) elnyel egy ugyancsak nyugvó elektront, a keletkező neutrínó energiája

E_{ν} = 1, 44 \cdot 10^{- 13}

J. Azonban a Be atommagok véletlenszerű termikus mozgást végeznek a Nap magjában lévő

T_{c}

hőmérséklet miatt, és mozgó neutrínóforrásként viselkednek. Emiatt a kibocsátott neutrínók energiája

Δ E_{rms}

négyzetes középértékkel fluktuál.
B.4. Ha

Δ E_{rms} = 5, 54 \cdot 10^{- 17} J

, számoljuk ki a Be magok

V_{Be}

sebességének négyzetes középértékét, majd ezzel adjunk becslést

T_{c}

-re! (Útmutatás:

Δ E_{rms}

a megfigyelés irányába mutató sebességkomponens négyzetes középértékétől függ.) (2,0 pont)

c

a fénysebességet,

h

a Planck-állandót,

k_{B}

pedig a Boltzmann-állandót jelöli. Ezek (és még más fizikai állandók) számértékét egy külön táblázatban megkapták a versenyzők.

³A ,,g'' index az angol gap (rés) szóra, vagyis a tiltott sáv szélességére utal.

⁴Ezen jelenség, az ún. neutrínóoszcilláció kísérleti igazolásáért Kadzsita Takaaki japán és Arthur B. McDonald kanadai tudósnak ítélték oda a 2015. évi fizikai Nobel-díjat (‐ a szerk.).