Kezdőlap


Feladat:	A.530	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Gyenes Zoltán
Füzet:	2011/március, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Nehéz feladat, Körök, Kombinatorikus geometria

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adottak egy kör kerületén ebben a sorrendben az $A_{1}, A_{3}, ..., A_{2 n + 1}, A_{2 n}, A_{2 n - 2}, ..., A_{2}$ pontok ( $n \geq 2$ ) úgy, hogy

\begin{matrix} A_{1} A_{2} A_{3} ∢ = A_{2} A_{3} A_{4} ∢ = ... = A_{2 n - 1} A_{2 n} A_{2 n + 1} ∢ = \frac{90^{\circ}}{n} . \end{matrix}

A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}, ..., A_{2 n - 1} A_{2 n}

egyenesek az

A_{1} A_{2 n + 1}

szakaszt

2 n - 1

részre osztják; jelöljük ezek hosszát rendre

ℓ_{1}, ℓ_{2}, ..., ℓ_{2 n - 1}

-gyel. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} ℓ_{1}^{2} - ℓ_{2}^{2} + ℓ_{3}^{2} - ℓ_{4}^{2} + - ... - ℓ_{2 n - 2}^{2} + ℓ_{2 n - 1}^{2} = 0. \end{matrix}