Kezdőlap


Feladat:	2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2013/október, 428 - 432. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb elektrodinamika
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2013/november: 2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Plazmonos gőzfejlesztő készülék

Bevezetés. Ebben a feladatban egy hatékony, kísérletileg is működő gőzfejlesztési eljárást fogunk tanulmányozni. Víz és benne eloszlatott, nanométeres méretű, gömb alakú ezüstgolyócskák (literenként csak körülbelül

10^{13}

darab) keverékét fókuszált fénynyalábbal világítjuk meg. A fény egy részét a nanogolyócskák elnyelik, így felmelegednek és közvetlen környezetükben gőzt keltenek anélkül, hogy a teljes vízmennyiséget felmelegítenék. A keletkező gőz buborékok formájában távozik a rendszerből. Jelenleg a folyamat még nem minden részletében tisztázott, de a felmelegedés jelensége a fémes nanogolyócskák elektronjainak együttes oszcillációján alapuló fényelnyeléssel magyarázható. A berendezést plazmonos gőzfejlesztőnek nevezzük.

3. ábra.

(a)

Egy

R

sugarú, gömb alakú, semleges nanogolyócska a koordináta-rendszer origójában.

(b)

A Tömör gömb homogén, pozitív

ϱ

töltéssűrűséggel (közepesen szürke), benne egy kisebb

R_{1}

sugarú,

x_{d} = x_{d} e_{x}

vektorral eltolt középpontú, gömb alakú, töltéssemleges tartománnyal

(0, halványszürke)

(c)

A koordináta-rendszer origójában rögzített nanogolyócska pozitív

ϱ

töltéssűrűségű ezüstionjai (közepesen szürke), és az origóhoz képest

x_{p}

vektorral eltolt középpontú

(x_{p} ≪ R)

, gömb alakú, negatív

- ϱ

töltéssűrűségű elektronfelhő (sötétszürke).

(d)

Külső homogén

E_{0} = - E_{0} e_{x}

elektromos tér. Időfüggő

E_{0}

esetén az elektronfelhő

v = d x_{P} / d t

sebességgel mozog.

(e)

z

irányba haladó,

ω_{P}

körfrekvenciájú,

S

intenzitású, monokromatikus fénynyalábbal megvilágított téglatest alakú

(h \times h \times a)

tartály, benne a vízben eloszlatott nanogolyócskákkal

Egyetlen, gömb alakú, ezüst nanogolyócska. Ebben a részfeladatban tekintsünk egy

R = 10, 0

nm sugarú, gömb alakú ezüst nanogolyócskát, melynek középpontja a koordináta-rendszerünk origójában van rögzítve, ahogy az a 3

(a)

. ábrán látható. Minden bekövetkező mozgás, erőhatás és erőtér párhuzamos a vízszintes

x

tengellyel (amely az

e_{x}

irányvektorral adható meg). A nanogolyócska vezetési elektronjai a golyócska teljes térfogatában szabadon mozoghatnak anélkül, hogy bármelyik ezüstatomhoz kötődnének. Az ezüstatomok pozitív ionokként vannak jelen a golyócskában, mindegyik egy-egy elektronnal járul hozzá a szabad töltéshordozókhoz.
2.1. Határozd meg a következő mennyiségeket: a nanogolyócska

V

térfogata és

M

tömege; a nanogolyócskában található ezüstionok

N

száma és

ϱ

töltéssűrűsége; valamint a szabad elektronok

n

számsűrűsége (koncentrációja), összes

Q

töltése és összes

m_{0}

tömege. (0,7 pont)
Elektromos mező egy töltött gömbön belüli töltéssemleges tartományban. Ebben a részfeladatban tegyük fel, hogy minden anyag relatív permittivitása

ε = 1

. Homogén

ϱ

töltéssűrűségű,

R

sugarú gömb belsejében

- ϱ

töltéssűrűség hozzáadásával egy kisebb,

R_{1}

sugarú, töltéssemleges tartományt hozunk létre, melynek középpontja az

R

sugarú gömb középpontjához képest

x_{d} = x_{d} e_{x}

vektorral el van tolva (lásd a 3

(b)

. ábrát).
2.2. Mutasd meg, hogy a töltéssemleges tartományban az elektromos tér homogén és

E = A (ϱ / ε_{0}) x_{d}

alakú! Határozd meg az

A

szorzótényező értékét! (1,2 pont)
A kitérített elektronfelhőre ható visszatérítő erő. A következőkben a szabad elektronok együttes mozgását vizsgáljuk. Ennek érdekében modellezzük a szabad elektronok összességét egyetlen, negatívan töltött, homogén

- ϱ

töltéssűrűségű,

x_{p}

középpontú gömbbel, amely az

x

tengely mentén mozoghat az origóhoz rögzített középpontú, pozitív töltésű gömbhöz (ezüstionok) képest (lásd a 3

(c)

. ábrát!). Tegyük fel, hogy egy külső

F_{külső}

erő hatására az elektronfelhő

x_{p} = x_{p} e_{x}

vektorral elmozdul eredeti helyzetéből, ahol

x_{p} ≪ R

. A nanogolyócska ‐ a két szélén megjelenő kicsiny töltéstől eltekintve ‐ a belsejében töltéssemleges marad.
2.3.

x_{p}

és

n

felhasználásával fejezd ki a következő két mennyiséget: az elektronfelhőre ható

F

visszatérítő erőt, valamint az elektronfelhő elmozdítása során végzett

W_{el}

munkát. (1,2 pont)
Ezüst nanogolyócska időben állandó, külső elektromos térben. Egy nanogolyócskát vákuumban

E_{0} = - E_{0} e_{x}

homogén elektromos térbe helyezünk, melynek hatására az elektronfelhő

F_{külső}

erőhatást érezve kicsiny

x_{p}

távolsággal elmozdul, ahol

| x_{p} | ≪ R

.
2.4. Határozd meg az elektronfelhő

x_{p}

elmozdulását

E_{0}

és

n

felhasználásával! Határozd meg az elmozdulás közben a nanogolyócska közepén átmenő

(y, z)

síkon keresztülhaladó

- Δ Q

töltést

R

n

és

x_{p}

függvényében! (0,6 pont)
Az ezüst nanogolyócska helyettesítő kapacitása és induktivitása. Mind időben állandó, mind változó

E_{0}

elektromos térben a nanogolyócska modellezhető egy megfelelő elektromos áramkörrel. A helyettesítő képbeli kapacitás meghatározható, ha a

Δ Q

töltés szétválasztásához szükséges

W_{el}

munkát megfeleltetjük egy

\pm Δ Q

töltéssel ellátott kondenzátor energiájának. A töltésszétválasztás a helyettesítő képben

V_{0}

feszültséget eredményez a fegyverzetek között.
2.5a. Fejezd ki a rendszer helyettesítő képének

C

kapacitását

ε_{0}

és

R

felhasználásával, és számítsd ki numerikus értékét! (0,7 pont)
2.5b.

E_{0}

és

R

felhasználásával fejezd ki azt a

V_{0}

feszültséget, amit a helyettesítő képbeli kondenzátorra kellene kapcsolni ahhoz, hogy

Δ Q

töltése legyen! (0,4 pont)
Időfüggő

E_{0}

elektromos tér esetén az elektronfelhő mozgásba jön, sebességét jelölje

v = v \cdot e_{x}

(lásd a 3

(d)

. ábrát!). Ennek következtében az elektronok

W_{kin}

mozgási energiára tesznek szert és a rögzített

y z

-síkon átfolyó

I

erősségű áramot okoznak. Az elektronfelhő mozgási energiája megfeleltethető egy

I

árammal átjárt

L

induktivitás energiájának.
2.6a. Fejezd ki a

W_{kin}

és

I

mennyiségeket

v

felhasználásával! (0,7 pont)
2.6b. Fejezd ki a helyettesítő képbeli

L

induktivitást a golyócska

R

sugarának, az elektron

e

töltésének és

m_{e}

tömegének, valamint az

n

elektronszám-sűrűség felhasználásával, majd számítsd ki numerikus értékét! (0,5 pont)
Az ezüst nanogolyócska plazmon rezonanciája. Az eddigiekből következik, hogy az egyensúlyi helyzetéből kitérített, majd elengedett elektronfelhő mozgása egy, a rezonanciafrekvenciával oszcilláló ideális LC-körrel modellezhető. Az elektronfelhő ilyen mozgását plazmon-rezonanciának hívják, a rezgés

ω_{p}

körfrekvenciája pedig az úgynevezett plazmon-körfrekvencia.
2.7a. Határozd meg az elektronfelhő

ω_{p}

plazmon-körfrekvenciáját az elektron

e

töltésének,

m_{e}

tömegének, az

n

elektronszám-sűrűség és az

ε_{0}

vákuum-permittivitás felhasználásával! (0,5 pont)
2.7b. Számítsd ki

ω_{p}

-t rad/s egységekben, valamint az

ω = ω_{p}

körfrekvenciájú fény

λ_{p}

hullámhosszát nm egységekben! (0,4 pont)
Plazmon frekvenciájú fénnyel megvilágított ezüst nanogolyócska. A feladat további részében a nanogolyócskát

ω_{p}

plazmon körfrekvenciájú,

S = \frac{1}{2} ε_{0} E_{0}^{2} = 1, 00 {MW m}^{- 2}

intenzitású, monokromatikus fénnyel világítjuk meg. Mivel a hullámhossz nagy (

λ_{p} ≫ R

), tekinthetjük úgy, hogy a nanogolyócska homogén, időben harmonikusan változó

E_{0} = - E_{0} cos (ω_{p} t) e_{x}

elektromos térben helyezkedik el. Az

E_{0}

tér hatására az elektronfelhő

x_{p}

középpontja is ugyanazon frekvenciával,

v = d x_{P} / d t

sebességgel, állandó

x_{0}

amplitúdóval rezegni kezd. Az elektronok eme rezgőmozgása a fény elnyeléséhez vezet. A nanogolyócska által befogott energia egy része a golyócska belsejében Joule-hővé alakul, a maradék része pedig szórt fény formájában újra kisugárzódik.
A Joule-hőt a szabad elektronoknak az ezüstionokkal való ritka, véletlenszerű, rugalmatlan ütközései okozzák. Az ütköző elektron a teljes mozgási energiáját elveszíti, ami az ezüstionok rezgéseivé (azaz hővé) alakul. Az ilyen ütközések közötti átlagos időtartam

τ ≫ 1 / ω_{p}

, ahol ezüst nanogolyóskára számoljunk a

τ = = 5, 24 \cdot 10^{- 15}

s értékkel!
2.8a. Fejezd ki a nanogolyócskában fejlődő Joule-hő keletkezési ütemének (teljesítményének)

P_{hő}

időátlagolt értékét és az áramerősség négyetének

〈 I^{2} 〉

időátlagát úgy, hogy a kifejezések expliciten tartalmazzák az elektronfelhő sebességnégyzetének

〈 v^{2} 〉

időátlagát! (1,0 pont)
2.8b. Határozd meg a nanogolyócska helyettesítő képének ohmikus ellenállását, amely kapcsolatot teremt a fejlődő Joule-hő teljesítménye és az elektronfelhő

I

áramerőssége között. Számítsd ki numerikus értékét! (1,0 pont)
A beeső fénynyalábban a rezgő elektronfelhőn való szóródás (újrakibocsátás) következtében valamekkora

P_{szórt}

időátlagolt teljesítmény formájában veszteség lép fel.

P_{szórt}

nagysága függ a szórócentrum

x_{0}

amplitúdójától,

Q

töltésétől,

ω_{p}

körfrekvenciájától, valamint a fény tulajdonságaitól (a

c

fénysebességtől és a vákuum

ε_{0}

permittivitásától). E négy változóval kifejezve

P_{szórt}

a következő formulával adható meg:

\begin{matrix} P_{szórt} = \frac{Q^{2} x_{0}^{2} ω_{p}^{4}}{12 π ε_{0} c^{3}} . \end{matrix}

2.9.

P_{hő}

analógiájára határozd meg a fényszórásnak megfelelő ekvivalens

P_{szórt}

ohmikus ellenállást

P_{szórt}

felhasználásával! Számítsd ki numerikus értékét is!

\begin{matrix}  \end{matrix}

(1,0 pont)
Az előbbiekben tárgyalt helyettesítő áramköri elemeket sorosan

R L C

-körbe kapcsolva, majd az áramkört (a beeső fény

E_{0}

térerőssége által meghatározott amplitúdójú)

V = V_{0} cos (ω_{p} t)

váltakozó feszültségre kapcsolva megkapjuk az oszcilláló térbe helyezett ezüst nanogolyócska modelljét.
2.10a. Ismert adatok felhasználásával határozd meg a

P_{hő}

és

P_{szórt}

időátlagolt teljesítmény- veszteségek kifejezéseit, valamint az

ω = ω_{p}

körfrekvenciájú beeső fény

E_{0}

amplitúdóját! (1,2 pont)
2.10b. Határozd meg

E_{0}

P_{hő}

, és

P_{szórt}

numerikus értékét! (0,3 pont)
Gőzfejlesztés fénnyel. Az ezüst nanogolyócskákat

n_{ng} = 7, 3 \cdot 10^{15} m^{- 3}

koncentrációban elkeverjük vízben, majd a keveréket egy téglatest alakú,

h \times h \times a = 10 \times 10 \times 10 {cm}^{3}

méretű, átlátszó tartályba töltjük, végül a rendszert merőleges beeséssel plazmon frekvenciájú,

S = 1, 00 {MW m}^{- 2}

intenzitású fénnyel világítjuk meg (lásd a 3

(e)

. ábrát!). A víz hőmérséklete

T_{hő} = 20^{\circ}

C, és a megfigyelésekkel összhangban feltehetjük, hogy stacionárius állapotban a nanogolyócskák Joule-hője teljes egészében

T_{gőz} = 110^{\circ}

C hőmérsékletű gőz keletkezésére fordítódik, a teljes víztömeg hőmérsékletének növelése nélkül.
A plazmonos gőzfejlesztő készülék termodinamikai hatásfokát az

η = = P_{gőz} / P_{összes}

hányadosként definiáljuk, ahol

P_{gőz}

az egész tartályban a gőz fejlesztésére fordítódó hőteljesítmény,

P_{összes}

pedig a tartályra eső fény összes teljesítménye.
Bármely kiszemelt nanogolyócskát az idő legnagyobb részében víz helyett gőz veszi körül, ezért tárgyalható úgy, mintha vákuumban helyezkedne el.
2.11a. Számítsd ki numerikusan a plazmonos gőzfejlesztő készülék által az időegység alatt előállított vízgőz

m_{gőz}

tömegét a plazmon frekvenciájú,

S

intenzitású fénnyel való besugárzás folyamán! (0,6 pont)
2.11b. Számítsd ki numerikusan a plazmonos gőzfejlesztő készülék

η

termodinamikai hatásfokát! (0,2 pont)