A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 2. feladat. Plazmonos gőzfejlesztő készülék
Bevezetés. Ebben a feladatban egy hatékony, kísérletileg is működő gőzfejlesztési eljárást fogunk tanulmányozni. Víz és benne eloszlatott, nanométeres méretű, gömb alakú ezüstgolyócskák (literenként csak körülbelül darab) keverékét fókuszált fénynyalábbal világítjuk meg. A fény egy részét a nanogolyócskák elnyelik, így felmelegednek és közvetlen környezetükben gőzt keltenek anélkül, hogy a teljes vízmennyiséget felmelegítenék. A keletkező gőz buborékok formájában távozik a rendszerből. Jelenleg a folyamat még nem minden részletében tisztázott, de a felmelegedés jelensége a fémes nanogolyócskák elektronjainak együttes oszcillációján alapuló fényelnyeléssel magyarázható. A berendezést plazmonos gőzfejlesztőnek nevezzük.
3. ábra. Egy sugarú, gömb alakú, semleges nanogolyócska a koordináta-rendszer origójában. A Tömör gömb homogén, pozitív töltéssűrűséggel (közepesen szürke), benne egy kisebb sugarú, vektorral eltolt középpontú, gömb alakú, töltéssemleges tartománnyal . A koordináta-rendszer origójában rögzített nanogolyócska pozitív töltéssűrűségű ezüstionjai (közepesen szürke), és az origóhoz képest vektorral eltolt középpontú , gömb alakú, negatív töltéssűrűségű elektronfelhő (sötétszürke). Külső homogén elektromos tér. Időfüggő esetén az elektronfelhő sebességgel mozog. A irányba haladó, körfrekvenciájú, intenzitású, monokromatikus fénynyalábbal megvilágított téglatest alakú tartály, benne a vízben eloszlatott nanogolyócskákkal Egyetlen, gömb alakú, ezüst nanogolyócska. Ebben a részfeladatban tekintsünk egy nm sugarú, gömb alakú ezüst nanogolyócskát, melynek középpontja a koordináta-rendszerünk origójában van rögzítve, ahogy az a 3. ábrán látható. Minden bekövetkező mozgás, erőhatás és erőtér párhuzamos a vízszintes tengellyel (amely az irányvektorral adható meg). A nanogolyócska vezetési elektronjai a golyócska teljes térfogatában szabadon mozoghatnak anélkül, hogy bármelyik ezüstatomhoz kötődnének. Az ezüstatomok pozitív ionokként vannak jelen a golyócskában, mindegyik egy-egy elektronnal járul hozzá a szabad töltéshordozókhoz. 2.1. Határozd meg a következő mennyiségeket: a nanogolyócska térfogata és tömege; a nanogolyócskában található ezüstionok száma és töltéssűrűsége; valamint a szabad elektronok számsűrűsége (koncentrációja), összes töltése és összes tömege. (0,7 pont) Elektromos mező egy töltött gömbön belüli töltéssemleges tartományban. Ebben a részfeladatban tegyük fel, hogy minden anyag relatív permittivitása . Homogén töltéssűrűségű, sugarú gömb belsejében töltéssűrűség hozzáadásával egy kisebb, sugarú, töltéssemleges tartományt hozunk létre, melynek középpontja az sugarú gömb középpontjához képest vektorral el van tolva (lásd a 3. ábrát). 2.2. Mutasd meg, hogy a töltéssemleges tartományban az elektromos tér homogén és alakú! Határozd meg az szorzótényező értékét! (1,2 pont) A kitérített elektronfelhőre ható visszatérítő erő. A következőkben a szabad elektronok együttes mozgását vizsgáljuk. Ennek érdekében modellezzük a szabad elektronok összességét egyetlen, negatívan töltött, homogén töltéssűrűségű, középpontú gömbbel, amely az tengely mentén mozoghat az origóhoz rögzített középpontú, pozitív töltésű gömbhöz (ezüstionok) képest (lásd a 3. ábrát!). Tegyük fel, hogy egy külső erő hatására az elektronfelhő vektorral elmozdul eredeti helyzetéből, ahol . A nanogolyócska ‐ a két szélén megjelenő kicsiny töltéstől eltekintve ‐ a belsejében töltéssemleges marad. 2.3. és felhasználásával fejezd ki a következő két mennyiséget: az elektronfelhőre ható visszatérítő erőt, valamint az elektronfelhő elmozdítása során végzett munkát. (1,2 pont) Ezüst nanogolyócska időben állandó, külső elektromos térben. Egy nanogolyócskát vákuumban homogén elektromos térbe helyezünk, melynek hatására az elektronfelhő erőhatást érezve kicsiny távolsággal elmozdul, ahol . 2.4. Határozd meg az elektronfelhő elmozdulását és felhasználásával! Határozd meg az elmozdulás közben a nanogolyócska közepén átmenő síkon keresztülhaladó töltést , és függvényében! (0,6 pont) Az ezüst nanogolyócska helyettesítő kapacitása és induktivitása. Mind időben állandó, mind változó elektromos térben a nanogolyócska modellezhető egy megfelelő elektromos áramkörrel. A helyettesítő képbeli kapacitás meghatározható, ha a töltés szétválasztásához szükséges munkát megfeleltetjük egy töltéssel ellátott kondenzátor energiájának. A töltésszétválasztás a helyettesítő képben feszültséget eredményez a fegyverzetek között. 2.5a. Fejezd ki a rendszer helyettesítő képének kapacitását és felhasználásával, és számítsd ki numerikus értékét! (0,7 pont) 2.5b. és felhasználásával fejezd ki azt a feszültséget, amit a helyettesítő képbeli kondenzátorra kellene kapcsolni ahhoz, hogy töltése legyen! (0,4 pont) Időfüggő elektromos tér esetén az elektronfelhő mozgásba jön, sebességét jelölje (lásd a 3. ábrát!). Ennek következtében az elektronok mozgási energiára tesznek szert és a rögzített -síkon átfolyó erősségű áramot okoznak. Az elektronfelhő mozgási energiája megfeleltethető egy árammal átjárt induktivitás energiájának. 2.6a. Fejezd ki a és mennyiségeket felhasználásával! (0,7 pont) 2.6b. Fejezd ki a helyettesítő képbeli induktivitást a golyócska sugarának, az elektron töltésének és tömegének, valamint az elektronszám-sűrűség felhasználásával, majd számítsd ki numerikus értékét! (0,5 pont) Az ezüst nanogolyócska plazmon rezonanciája. Az eddigiekből következik, hogy az egyensúlyi helyzetéből kitérített, majd elengedett elektronfelhő mozgása egy, a rezonanciafrekvenciával oszcilláló ideális LC-körrel modellezhető. Az elektronfelhő ilyen mozgását plazmon-rezonanciának hívják, a rezgés körfrekvenciája pedig az úgynevezett plazmon-körfrekvencia. 2.7a. Határozd meg az elektronfelhő plazmon-körfrekvenciáját az elektron töltésének, tömegének, az elektronszám-sűrűség és az vákuum-permittivitás felhasználásával! (0,5 pont) 2.7b. Számítsd ki -t rad/s egységekben, valamint az körfrekvenciájú fény hullámhosszát nm egységekben! (0,4 pont) Plazmon frekvenciájú fénnyel megvilágított ezüst nanogolyócska. A feladat további részében a nanogolyócskát plazmon körfrekvenciájú, intenzitású, monokromatikus fénnyel világítjuk meg. Mivel a hullámhossz nagy (), tekinthetjük úgy, hogy a nanogolyócska homogén, időben harmonikusan változó elektromos térben helyezkedik el. Az tér hatására az elektronfelhő középpontja is ugyanazon frekvenciával, sebességgel, állandó amplitúdóval rezegni kezd. Az elektronok eme rezgőmozgása a fény elnyeléséhez vezet. A nanogolyócska által befogott energia egy része a golyócska belsejében Joule-hővé alakul, a maradék része pedig szórt fény formájában újra kisugárzódik. A Joule-hőt a szabad elektronoknak az ezüstionokkal való ritka, véletlenszerű, rugalmatlan ütközései okozzák. Az ütköző elektron a teljes mozgási energiáját elveszíti, ami az ezüstionok rezgéseivé (azaz hővé) alakul. Az ilyen ütközések közötti átlagos időtartam , ahol ezüst nanogolyóskára számoljunk a s értékkel! 2.8a. Fejezd ki a nanogolyócskában fejlődő Joule-hő keletkezési ütemének (teljesítményének) időátlagolt értékét és az áramerősség négyetének időátlagát úgy, hogy a kifejezések expliciten tartalmazzák az elektronfelhő sebességnégyzetének időátlagát! (1,0 pont) 2.8b. Határozd meg a nanogolyócska helyettesítő képének ohmikus ellenállását, amely kapcsolatot teremt a fejlődő Joule-hő teljesítménye és az elektronfelhő áramerőssége között. Számítsd ki numerikus értékét! (1,0 pont) A beeső fénynyalábban a rezgő elektronfelhőn való szóródás (újrakibocsátás) következtében valamekkora időátlagolt teljesítmény formájában veszteség lép fel. nagysága függ a szórócentrum amplitúdójától, töltésétől, körfrekvenciájától, valamint a fény tulajdonságaitól (a fénysebességtől és a vákuum permittivitásától). E négy változóval kifejezve a következő formulával adható meg: 2.9. analógiájára határozd meg a fényszórásnak megfelelő ekvivalens ohmikus ellenállást felhasználásával! Számítsd ki numerikus értékét is! (1,0 pont) Az előbbiekben tárgyalt helyettesítő áramköri elemeket sorosan -körbe kapcsolva, majd az áramkört (a beeső fény térerőssége által meghatározott amplitúdójú) váltakozó feszültségre kapcsolva megkapjuk az oszcilláló térbe helyezett ezüst nanogolyócska modelljét. 2.10a. Ismert adatok felhasználásával határozd meg a és időátlagolt teljesítmény- veszteségek kifejezéseit, valamint az körfrekvenciájú beeső fény amplitúdóját! (1,2 pont) 2.10b. Határozd meg , , és numerikus értékét! (0,3 pont) Gőzfejlesztés fénnyel. Az ezüst nanogolyócskákat koncentrációban elkeverjük vízben, majd a keveréket egy téglatest alakú, méretű, átlátszó tartályba töltjük, végül a rendszert merőleges beeséssel plazmon frekvenciájú, intenzitású fénnyel világítjuk meg (lásd a 3. ábrát!). A víz hőmérséklete C, és a megfigyelésekkel összhangban feltehetjük, hogy stacionárius állapotban a nanogolyócskák Joule-hője teljes egészében C hőmérsékletű gőz keletkezésére fordítódik, a teljes víztömeg hőmérsékletének növelése nélkül. A plazmonos gőzfejlesztő készülék termodinamikai hatásfokát az hányadosként definiáljuk, ahol az egész tartályban a gőz fejlesztésére fordítódó hőteljesítmény, pedig a tartályra eső fény összes teljesítménye. Bármely kiszemelt nanogolyócskát az idő legnagyobb részében víz helyett gőz veszi körül, ezért tárgyalható úgy, mintha vákuumban helyezkedne el. 2.11a. Számítsd ki numerikusan a plazmonos gőzfejlesztő készülék által az időegység alatt előállított vízgőz tömegét a plazmon frekvenciájú, intenzitású fénnyel való besugárzás folyamán! (0,6 pont) 2.11b. Számítsd ki numerikusan a plazmonos gőzfejlesztő készülék termodinamikai hatásfokát! (0,2 pont) |
|