Kezdőlap


Feladat:	2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2013/október, 425 - 428. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Maghasadás, Olvadás, fagyás, Térbeli mozgás
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2013/november: 2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. A Maribo-meteorit

Bevezetés. A meteoroid egy kisbolygóból vagy üstökösből kiszakadó kisméretű test (mérete kisebb 1 méternél). A talajba csapódott meteoroidot meteoritnak nevezzük.
2009. január 17-én este a Balti-tenger közelében sok ember látta egy meteoroid izzó csóváját (tűzlabdáját), ahogy áthalad a Föld légkörén. Svédországban egy biztonsági kamera videófelvételt készített az eseményről, amit az 1

(a)

. ábra mutat. A fényképek és szemtanúk beszámolói alapján szűkíteni lehetett a becsapódás helyét, és hat héttel később a dél-dániai Maribo város szomszédságában megtalálták a 0,025 kg tömegű meteoritot, amit azóta Maribonak neveznek. A Maribon végzett mérések, és égi pályájának vizsgálata érdekes eredményt mutat. A meteoroid kivételesen nagy sebességgel hatolt be a légkörbe. A kora

4, 567 \cdot 10^{9}

év, ami azt mutatja, hogy röviddel a Naprendszer születése után keletkezett. A Maribo-meteorit esetleg az Encke-üstökös része volt.
A Maribo sebessége. A tűzgolyó közel nyugati irányban, az északi iránnyal

285^{\circ}

-os szöget bezárva repült a becsapódás helye felé, ahol később megtalálták, ahogy az 1. ábrán látható. A meteoritot a biztonsági kamerától 195 km-re, az északi irányhoz képest

230^{\circ}

-os szögben találták meg.

1. ábra.

(a)

A svédországi biztonsági kamera által készített képek sorozata a Maribo mozgását mutatja, ahogy tűzgömbként áthalad a légkörön.

(b)

A két fényképet jellemző adatok: idő, azimut (fokokban, ahogy a C pontban lévő kamera felöl látni), és a magassági szög (szintén fokokban). Az azimut a horizont síkjában az északi iránytól az órajárással egyezően bezárt szög. A magassági szög a horizont síkjával bezárt szög.

(c)

Vázlat a Maribo mozgásának (az ábrán nyíllal jelölt) irányáról az északi irányhoz (N) viszonyítva és a dániai landolás helye (M), ahogy a kamera (C) látta.
(Lásd még a hátsó belső borító színes fényképeit!)

1.1. A fentiek, valamint az 1. ábra adatainak a felhasználásával határozd meg a Maribo-meteoroid átlagsebességét a

155

. és a

161

. képkocka között eltelt időtartamra! A Föld felszínének görbülete és a meteoroidra ható gravitációs erő elhanyagolható. (1,3 pont)
Megolvad-e az atmoszférában? A meteoroid levegőben való mozgása miatt a felső légkörben fellépő súrlódást bonyolult formula írja le. A közegellenállási erő függ a meteoroid levegőhöz viszonyított sebességétől, valamint a légkör hőmérsékletétől és sűrűségétől. Elfogadható közelítést ad a légkör felső részében a közegellenállási erőre az

F = k ϱ_{atm} A v^{2}

kifejezés, ahol

k

egy állandó (közegellenállási együttható),

ϱ_{atm}

a légkör sűrűsége,

A

a meteoroid sebességre merőleges keresztmetszete, és

v

a sebessége.
A következő egyszerűsítő feltevések felhasználásával vizsgáljuk a meteoroidot: amikor behatol a légkörbe a test, gömb alakú, tömege

m_{M} = 30

kg, sugara

R_{M} = 0, 13

m, hőmérséklete

T_{0} = 200

K, és a sebessége

v_{M} = 2, 91 \cdot 10^{4}

m/s. A légkör sűrűsége állandó (a Föld felszíne felett 40 km magasságban),

ϱ_{atm} = 4, 1 \cdot 10^{- 3} {kg/m}^{3}

, és a közegellenállási együttható

k = 0, 60

.
1.2a. Becsüld meg, hogy a meteoroid légkörbe való behatolását követően mennyi idő múlva változik a sebessége

10 %

-nyit, azaz csökken

v_{M}

-ről

0, 90 v_{M}

-re. A gravitációs erő meteoroidra való hatását elhanyagolhatod, és felteheted, hogy a meteoroid alakja és tömege nem változik. (0,7 pont)
1.2b. Számold ki, hányszor nagyobb a légkörbe hatoló meteoroid

E_{kin}

mozgási energiája a teljes megolvasztásához szükséges

E_{olv.}

energiánál! (Az adatokat a mellékelt táblázatból^{$^{*}$} keresd ki)! (0,3 pont)
A Maribo melegedése a légkörön való áthatolás alatt. Amikor a Maribo-meteoroidkő (röviden: kő) szuperszonikus sebességgel elérte a légkört, akkor egy tűzgömbnek látszott, mert a körülötte levő levegő felizzott. Ennek következtében a Maribo csak a legkülső, felszíni rétegén keresztül vett fel hőt. Tekintsük a Maribot egy homogén gömbnek, amelynek sűrűsége

ϱ_{kő}

, fajhője

c_{kő}

és hővezetési tényezője

k_{kő}

(az adatokat a táblázatból keresd ki)! Továbbá, a légkörbe lépéskor a meteoroid hőmérséklete

T_{0} = 200

K volt. A súrlódás miatt a meteoroid felszíni hőmérséklete a légkörben való esés alatt állandó

T_{s} = 1000

K. Ennek következtében a meteoroid belseje is fokozatosan felmelegszik.
Miután a légkörben már

t

ideig esett, a Maribo felszínén egy

x

vastagságú réteg hőmérséklete válik

T_{0}

-nál jóval melegebbé. Ez a vastagság dimenzióanalízis segítségével megbecsülhető. Feltételezhető, hogy a vastagság nagyságrendje egyszerűen a termodinamikai paraméterek ismeretlen hatványainak szorzata, azaz

x \approx t^{α} ϱ_{kő}^{β} c_{kő}^{γ} k_{kő}^{δ} .

1.3a. Dimenzióanalízis segítségével határozd meg az

α

β

γ

és

δ

kitevők értékét! (0,6 pont)
1.3b. Ez alapján számold ki, hogy mekkora az

x

vastagság

t = 0, 5 s

idővel a légkörbe történő belépés után, valamint határozd meg az

x / R_{M}

arányt! (0,4 pont)
A meteorit kora. A radioaktív izotópok kémiai tulajdonságai különbözhetnek, és így egy adott meteroitban az ásványok kristályosodása során egyes kristályszemcsékben bizonyos radioaktív izotópok koncentrációja magasabb, másokban alacsonyabb. Ez a különbség lehetővé teszi a meteorit korának meghatározását a radioaktív ásványtartalmának elemzésével.
Konkrét példaként vizsgáljuk a

^{87} Rb

izotóp (37-es rendszámú elem) bomlását, amelynek felezési ideje

T_{1 / 2} = 4, 9 \cdot 10^{10}

év, és végterméke a

^{87} Sr

stabil izotóp (38-as rendszámú elem). Ennek mennyiségét viszonyítjuk a meglevő, ugyancsak stabil

^{86} Sr

izotópéhoz. Az ásványok kristályosodásakor a

^{87} Sr /^{86} Sr

arány minden ásványszemcsében azonos volt, míg a

^{87} Rb /^{86} Sr

arány különbözött. Az idő múlásával azonban a

^{87} Rb

izotóp mennyisége csökkent, és ennek következtében a

^{87} Sr

izotóp mennyisége nőtt. Így az ásványszemcsékben mostanra a

^{87} Sr /^{86} Sr

arány különbözővé vált. A 2. ábra vízszintes tengelyein a kristályosodás időpontjában fennállt

^{87} Rb /^{86} Sr

arány van feltüntetve.

2. ábra.

(a)

A különböző ásványszemcsékben fennálló

^{87} Sr /^{86} Sr

arány a kristályosodás

t = 0

időpontjában (üres körök), illetve jelenleg (tele körök).

(b)

A meteorit három ásványszemcséjében mért, a jelenlegi adatokra illeszkedő egyidejűségi vonal

1.4a. Írd le a

_{37}^{87} Rb

izotóp

_{38}^{87} Sr

-ra való bomlásának egyenletét! (0,3 pont)
1.4b. Mutasd meg, hogy ugyanabból a meteoritból, különböző ásványi szemcsékből származó minták esetén egyenest kapunk, ha a jelenlegi

^{87} Sr /^{86} Sr

arányt a jelenlegi

^{87} Rb /^{86} Sr

arány függvényében ábrázoljuk! Ezt az egyenest egyidejűségi vonalnak nevezzük. Mutasd meg továbbá, hogy az egyidejűségi vonal meredeksége

a (t) = (e^{λ t} - 1)

, ahol

t

a kristályosodás óta eltelt idő,

λ

pedig a bomlási állandó, amely fordítottan arányos a

T_{1 / 2}

felezési idővel! (0,7 pont)
1.4c. Határozd meg a meteorit

τ_{M}

életkorát az 2

(b)

. ábrán látható egyidejűségi vonal alapján! (0,4 pont)
Az Encke-üstökös, ahonnan a Maribo-meteorit származhat. A Nap körül keringő Encke-üstökös Naptól mért legnagyobb és legkisebb távolsága:

\begin{matrix} a_{min} = 4, 95 \cdot 10^{10} m és a_{max} = 6, 16 \cdot 10^{11} m . \end{matrix}

1.5. Számítsd ki az Encke-üstökös

t_{Encke}

keringési idejét! (0,6 pont)
Aszteroida-becsapódás hatása a Földre. 65 millió évvel ezelőtt egy óriási aszteroida csapódott a Földbe. Az aszteorida sűrűsége

ϱ_{aszt.} = 3, 0 \cdot 10^{3} {kg m}^{- 3}

, sugara

R_{aszt.} = 5, 0

km és becsapódási sebessége

v_{aszt.} = 2, 5 \cdot 10^{4}

m/s volt. Ez a becsapódás a földi élet nagy részének kihalását eredményezte, és létrehozta a hatalmas Chicxulub krátert. Képzeljük el, mi történne, ha ma ütközne tökéletesen rugalmatlanul egy ugyanilyen aszteroida a Földnek. Tudjuk, hogy a Föld tehetetlenségi nyomatéka 0,83-szor akkora, mint egy ugyanolyan tömegű és sugarú homogén gömbé. Az

M

tömegű,

R

sugarú homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka

(2 / 5) M R^{2}

. Az ütközéskor a Föld pályájának változásától tekintsünk el.
1.6a. Tegyük föl, hogy az aszteroida az északi póluson csapódik be. Határozd meg a Föld forgástengelyének maximális lehetséges szögeltérülését a becsapódás után! (0,7 pont)
1.6b. Tegyük föl, hogy az aszteroida az Egyenlítőre csapódik be radiális (függőleges) irányból. Határozd meg a Föld forgási periódusának

Δ τ_{függ.}

megváltozását az ütközés után! (0,7 pont)
1.6c. Tegyük föl, hogy az aszteroida az Egyenlítőre csapódik be a felszínt érintő (vízszintes) irányból, az Egyenlítő síkjában. Határozd meg Föld forgási periódusának

Δ τ_{érintő}

megváltozását az ütközés után! (0,7 pont)
Maximális becsapódási sebesség. Tekintsünk egy olyan égitestet, amely gravitációsan kötött a Naprendszerhez, és

v_{becs.}

sebességgel becsapódik a Föld felszínére! Kezdetben elhanyagolhatjuk a Földnek a testre gyakorolt gravitációs hatását. Tekintsünk el továbbá a légköri súrlódástól, a többi égitest hatásától és a Föld forgásától!
1.7. Határozd meg a

v_{becs.}

becsapódási sebesség legnagyobb lehetséges

v_{becs.}^{max}

értékét! (1,6 pont)

^{$^{*}$}A táblázat a feladatsor végén található.