Feladat: 2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2011/október, 423 - 424. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Mesterséges holdak
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2011/november: 2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Egy háromtest-probléma és a LISA

 
1.1. M és m két egymást vonzó tömegpont, melyek R, illetve r sugarú körpályán mozognak a közös tömegközéppontjuk körül. Fejezd ki az M és m tömeg-

 
 
1. ábra. Három test pályája egy síkban
 
pontokat összekötő szakasz ω0 szögsebességét R, r, M, m és a G gravitációs állandó segítségével!
1.2. Egy harmadik, infinitezimálisan kicsi μ tömegű testet úgy helyezünk el, hogy azonos síkban, körpályán mozogjon a közös tömegközéppont körül, és maradjon nyugalomban az M és m tömegű testekhez képest, ahogy az 1. ábrán látható. Tegyük fel, hogy ez a test nem esik egy egyenesbe az M és m testekkel. Fejezd ki a következő mennyiségeket R és r függvényében:

1.2.1. μ és M távolságát,

1.2.2. μ és m távolságát,

1.2.3. μ és a tömegközéppont távolságát.
1.3. Tekintsd az M=m esetet. A μ testet kicsit kitérítjük radiális irányban (az O ‐ μ egyenes mentén). Mekkora μ egyensúlyi helyzet körüli rezgésének körfrekvenciája ω0-lal kifejezve? Tedd fel, hogy μ perdülete megmarad.
A Laser Interferometry Space Antenna (LISA) három egyforma űrhajó együttese a kisfrekvenciás gravitációs hullámok detektálására. A három űrhajó egy szabályos háromszög csúcsaiban helyezkedik el, ahogy a 2. és 3. ábrán látható. Az oldalak (más néven ,,karok'') kb. 5,0 millió km hosszúak. A LISA-együttes egy, a Földéhez hasonló pályán 20∘-kal lemaradva követi a Nap körül a Földet. Mindegyik űrhajó egy saját, kicsit döntött pályán kering a Nap körül. Ennek eredményeként a három űrhajó keringeni látszik a közös középpontjuk körül, évente egy fordulatot megtéve.
 
 
 

2. ábra. A LISA pálya vázlata. A három űrhajó közös középpontjuk körül kering 1 éves periódusidővel. Kezdetben 20∘-kal lemaradva követik a Földet1
 
 

 

3. ábra. A Földet követő három űrhajó nagyított képe. A, B és C a három űrhajó a szabályos háromszög csúcsaiban
 

Az űrhajók folyamatosan lézerjeleket bocsátanak ki és fogadnak egymás közt. A gravitációs hullámokat úgy mutatják ki, hogy a karok hosszának kicsiny változásait detektálják interferometriás módszerekkel. Gravitációs hullámok pl. úgy keletkezhetnek, hogy nagytömegű testek (pl. fekete lyukak) ütköznek a szomszédos galaxisokban.
 

1.4. A három űrhajó síkjában mekkora egy űrhajó relatív sebessége egy másik űrhajóhoz képest? 1
1Forrás: D. A. Shaddock, ``An Overview of the Laser Interferometer Space Antenna'', Publications of the Astronomical Society of Australia, 2009, 26, pp. 128‐132.