Feladat: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2010/szeptember, 364 - 366. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Hőáramlás (konvekció), Bernoulli-törvény
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2010/október: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Kéményfizika

 
Bevezetés. Egy kazánból a légnemű égéstermék (füst, gáz) A keresztmetszetű, h magasságú kéményen keresztül jut ki a Tlevegő hőmérsékletű légkörbe (lásd 4. ábra). A kazán égésterének, valamint az égés során keletkezett füstnek a hőmérséklete Tfüst. A kazánban időegység alatt keletkezett légnemű égéstermék térfogata B.
 

 
4. ábra. A Tfüst hőmérsékletű kazán és a h magasságú kémény
 

A következő közelítésekkel éljünk:
• A kazánban a gázok áramlási sebessége elhanyagolhatóan kicsi.
• Az égéstermék (füst) sűrűsége megegyezik az ugyanolyan nyomású és hőmérsékletű levegő sűrűségével, továbbá a kazánban levő gáz ideálisnak tekinthető.
• A külső levegő nyomása a hidrosztatikus nyomás törvénye szerint változik a magasság függvényében; a külső levegő sűrűségének magasságtól való függése elhanyagolható.
• Az égéstermék áramlása megfelel a Bernoulli-törvénynek, mely szerint a következő összeg:
12ϱv2(z)+ϱgz+p(z)=állandó
az áramlási tér minden pontjában. A képletben ϱ az égéstermék sűrűsége, v(z) az áramlás sebessége, p(z) pedig a nyomás z magasságban.
• Az égéstermék sűrűségének változása a kémény teljes hosszában elhanyagolható.
 
1. részfeladat.
a) Mekkora az a minimális magasság, mely mellett a kémény hatékonyan működik, azaz az összes keletkező égésterméket képes a légkörbe kijuttatni? Az eredményt B, A, Tlevegő, g=9,81m/s2 és ΔT=Tfüst-Tlevegő függvényében add meg!
Fontos: a összes további kérdés megválaszolásánál tételezd fel, hogy a kémény magassága megegyezik ezzel a minimális mérettel.
 

b) Tegyük föl, hogy két pontosan azonos kazánhoz, azonos célra két kéményt építenek. A kémények keresztmetszete megegyezik, de különböző földrajzi helyre tervezik őket; az egyiket hideg éghajlatra, ahol a levegő átlagos hőmérséklete -30∘C, a másikat pedig meleg vidékre, ahol a levegő átlaghőmérséklete 30∘C. Mindkét esetben a kazán belső hőmérséklete 400∘C. A hidegebb helyen levő kémény minimális magassága 100 m-nek adódik. Milyen magas a másik kémény?
c) Mekkora a kéményben áramló gáz sebessége? Készíts vázlatos grafikont az áramló gáz sebességéről a magasság függvényében, feltételezve, hogy a kémény keresztmetszete nem változik a magassággal. Jelöld meg a grafikonon azt a magasságot, ahol az égéstermék belép a kéménybe!
d) Hogyan változik a kéményben az égéstermék (gáz) nyomása a magasság függvényében?
 
Naperőmű. A kéményben áramló gáz energiájának hasznosításával naperőművet (napkéményt) lehet létrehozni. Az elrendezést az 5. ábra szemlélteti. A Nap felmelegíti az S felületű gyűjtőlemez alatt elhelyezkedő levegőt. A gyűjtőlemez szélénél a levegő szabadon áramolhat be a lemez alá. Miközben a felmelegített levegő a kéményen keresztül felfelé távozik (vékony, folytonos nyilak), hideg levegő áramlik a gyűjtőlemez alá a széleken (vastag, pontozott nyilak), és így a napkéményben folytonos levegőáramlás alakul ki. Az áramló levegő egy turbinát hajt meg a kéményben, amely elektromos energiát termel. A napsugárzás időegységre és vízszintes területegységre vonatkoztatott energiáját jelölje G. Tegyük föl, hogy a gyűjtőlemezre jutó összes napsugárzás a lemez alatt levő levegő melegítésére fordítódik. Jelölje a levegő (egységnyi tömegre vonatkoztatott) fajhőjét c, és hanyagoljuk el c hőmérsékletfüggését. A napkémény hatásfokát a kéményben áramló gáz mozgási energiájának és a gyűjtőlemez alatt lévő levegő által elnyelt besugárzási energiának a hányadosaként értelmezzük.
 

 
5. ábra. A napkémény felépítése
 

2. részfeladat.
a) Mennyi a napkémény hatásfoka?
b) Grafikonon ábrázold a hatásfoknak a kémény magasságától való függését!
 
A Manzanares-ben működő napkémény. Az első napkémény a spanyolországi Manzanares közelében épült. A kémény magassága 195 m, sugara 5 m. A gyűjtőlemez 244 m átmérőjű körlap. A tipikus működési körülmények mellett a napkéményben lévő levegő fajhője 1012 J/kg⋅K, a forró levegő sűrűsége megközelítőleg 0,9 kg/m3, a külső levegő átlaghőmérséklete pedig Tlevegő=295 K Manzanares-ben. Az egységnyi vízszintes felületre eső napsugárzás intenzitása nappal, egy átlagos napsütéses napon 150 W/m2.
 
3. részfeladat.
a) Mennyi a Manzanares-ben épült napkémény hatásfoka? Eredményedet számszerűen is add meg!
b) Mekkora teljesítménnyel működik a Manzanares-ben épült napkémény?
c) Mennyi energiát állít elő a Manzanares-ben épült napkémény egy átlagos napsütéses napon?
 
4. részfeladat.
a) Határozd meg, mennyivel emelkedik a napkéményben a kémény torkolatánál belépő (meleg) levegő hőmérséklete a külső (hideg) levegő hőmérsékletéhez képest? Add meg az általános formulát, majd értékeld ki a Manzanares-ben mőködő napkémény adataival!
b) Hány kilogramm/szekundum a Manzanares-ben működő napkéményben hozama, vagyis mennyi az időegység alatt átáramló levegő tömege?