Kezdőlap


Feladat:	2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2010/szeptember, 362 - 364. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Megosztás, Pontszerű töltés térerőssége, Síkinga
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2010/október: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Tükörtöltés egy fémtárgyban

Bevezetés ‐ Tükörtöltés módszer. Helyezzünk el egy

q

ponttöltést egy

R

sugarú, földelt fémgömb közelében (lásd az 1.

(a)

ábrát). A ponttöltés hatására a gömbön felületi töltéseloszlás jön létre. A felületi töltéseloszlás által keltett elektromos tér és a potenciál kiszámítása rendkívül nehéz feladat. Azonban az úgynevezett tükörtöltés módszerrel a számítások lényegesen leegyszerűsíthetők. A módszer lényege az, hogy a gömbön lévő töltéseloszlás által keltett elektromos mező és potenciál leírható egyetlen, a gömb belsejében lévő

q'

ponttöltés terével és potenciáljával (ezt a tényt nem kell bizonyítanod).
Megjegyzés: Ennek a

q'

tükörtöltésnek az elektromos tere csak a gömbön kívül (beleértve a felületét is) feleltethető meg a felületi töltéseloszlás által keltett elektromos térnek és potenciálnak.

1. ábra.

(a)

q

ponttöltés egy földelt fémgömb közelében.

(b)

A gömbön létrejövő töltés terét megfeleltethetjük a

q'

tükörtöltés elektromos terének

1. Tükörtöltés. Az elrendezés szimmetriájából következik, hogy a

q'

ponttöltésnek a

q

ponttöltést és a gömb középpontját összekötő egyenesen kell lennie (lásd az 1.

(b)

ábrát).

a)

Mekkora a potenciál értéke a gömbön?

b)

Fejezd ki a tükörtöltés

q'

értékét, valamint a gömb középpontjától számított

d'

távolságát

q

d

és

R

segítségével!

c)

Határozd meg a

q

töltésre ható erő nagyságát! Ez az erő taszító (igen vagy nem)?

2. Elektrosztatikus tér leárnyékolása. Tekintsünk egy

q

ponttöltést egy

R

sugarú, földelt fémgömb közelében, a gömb középpontjától

d

távolságra. Azt vizsgáljuk, hogyan befolyásolja a földelt fémgömb jelenléte az

A

pontban az elektromos teret. Az

A

pont a gömb túlsó oldalán helyezkedik el (lásd a 2. ábrát). Az

A

pont a

q

ponttöltést és a gömb középpontját összekötő egyenesen található; a

q

ponttöltéstől mért távolsága

r

2. ábra. Az

A

pontban a földelt gömb részlegesen leárnyékolja az elektromos teret

a)

Határozd meg az

A

pontban az elektromos térerősség vektort!

b)

Határozd meg az elektromos térerősség képletét nagyon nagy távolság (

r ≫ d

) esetén, felhasználva, hogy

{(1 + a)}^{- 2} \approx 1 - 2 a

, ha

a ≪ 1

c)

d

távolságra nézve milyen feltételnek kell teljesülni ahhoz, hogy a földelt fémgömb teljesen leárnyékolja a

q

töltés terét, vagyis az

A

pontban az elektromos térerősség pontosan nulla legyen?

3. Rezgések a földelt fémgömb elektromos terében. Egy

L

hosszúságú fonál segítségével a földelt fémgömb közelében ,,felfüggesztünk'' egy

q

ponttöltést, melynek tömege

m

. A fonál másik végét egy falhoz rögzítjük. A fal elektrosztatikus hatásait hanyagoljuk el. A ponttöltés matematikai ingaként viselkedik (lásd a 3. ábrát). A fonálnak a falhoz rögzített vége

l

távolságra van a gömb középpontjától. Tegyük fel, hogy a gravitáció elhanyagolható.

3. ábra. Egy ingaként viselkedő ponttöltés a földelt fémgömb közelében

a)

Adjuk meg a

q

ponttöltésre ható elektromos erő nagyságát egy adott

α

szög esetén, és jelezzük ennek az erőnek az irányát egy jól áttekinthető ábrán!

b)

Határozzuk meg ennek az erőnek a fonálra merőleges összetevőjét a következő tagok függvényében:

l

L

R

q

és

α

c)

Adjuk meg az inga kis rezgéseinek frekvenciáját!

4. A rendszer elektrosztatikus energiája. Elektromos töltéseloszlások esetén a rendszer elektrosztatikus energiája fontos adat. A mi esetünkben (lásd az 1.

(a)

ábrát), elektrosztatikus kölcsönhatás jön létre a külső

q

töltés és a gömbön kialakuló töltések között, valamint létezik elektrosztatikus kölcsönhatás magán a gömbön lévő töltések között is. A

q

töltés, valamint a gömb

R

sugara, továbbá a

d

távolság segítségével határozzuk meg a következő elektrosztatikus energiákat:

a)

q

töltés és a gömbön lévő töltések közötti kölcsönhatás elektrosztatikus energiáját;

b)

a gömbön lévő töltések közötti kölcsönhatás elektrosztatikus energiáját;

c)

a rendszer teljes kölcsönhatási elektrosztatikus energiáját.
Útmutatás: Ez a feladat többféleképpen is megoldható!
(1) Az egyik módszer esetén a következő integrált használhatod:

\begin{matrix} \int_{d}^{\infty} \frac{x d x}{{(x^{2} - R^{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{d^{2} - R^{2}} . \end{matrix}

(2) Egy másik módszer esetén felhasználhatod azt a tényt, hogy

N

ponttöltésből álló rendszer teljes elektrosztatikus energiája az összes töltéspárra vonatkozó energiák összege:

\begin{matrix} V = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1 i \neq j}^{N} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{i} q_{j}}{| {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j} |}, \end{matrix}

ahol a töltéseket

q_{i}

jelöli, és ezek az

{\vec{r}}_{i}

(i = 1, ..., N

) pontokban helyezkednek el.