A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. feladat. Tükörtöltés egy fémtárgyban
Bevezetés ‐ Tükörtöltés módszer. Helyezzünk el egy ponttöltést egy sugarú, földelt fémgömb közelében (lásd az 1. ábrát). A ponttöltés hatására a gömbön felületi töltéseloszlás jön létre. A felületi töltéseloszlás által keltett elektromos tér és a potenciál kiszámítása rendkívül nehéz feladat. Azonban az úgynevezett tükörtöltés módszerrel a számítások lényegesen leegyszerűsíthetők. A módszer lényege az, hogy a gömbön lévő töltéseloszlás által keltett elektromos mező és potenciál leírható egyetlen, a gömb belsejében lévő ponttöltés terével és potenciáljával (ezt a tényt nem kell bizonyítanod). Megjegyzés: Ennek a tükörtöltésnek az elektromos tere csak a gömbön kívül (beleértve a felületét is) feleltethető meg a felületi töltéseloszlás által keltett elektromos térnek és potenciálnak.
1. ábra. A ponttöltés egy földelt fémgömb közelében. A gömbön létrejövő töltés terét megfeleltethetjük a tükörtöltés elektromos terének 1. Tükörtöltés. Az elrendezés szimmetriájából következik, hogy a ponttöltésnek a ponttöltést és a gömb középpontját összekötő egyenesen kell lennie (lásd az 1. ábrát). Mekkora a potenciál értéke a gömbön? Fejezd ki a tükörtöltés értékét, valamint a gömb középpontjától számított távolságát , és segítségével! Határozd meg a töltésre ható erő nagyságát! Ez az erő taszító (igen vagy nem)?
2. Elektrosztatikus tér leárnyékolása. Tekintsünk egy ponttöltést egy sugarú, földelt fémgömb közelében, a gömb középpontjától távolságra. Azt vizsgáljuk, hogyan befolyásolja a földelt fémgömb jelenléte az pontban az elektromos teret. Az pont a gömb túlsó oldalán helyezkedik el (lásd a 2. ábrát). Az pont a ponttöltést és a gömb középpontját összekötő egyenesen található; a ponttöltéstől mért távolsága .
 2. ábra. Az pontban a földelt gömb részlegesen leárnyékolja az elektromos teret Határozd meg az pontban az elektromos térerősség vektort! Határozd meg az elektromos térerősség képletét nagyon nagy távolság () esetén, felhasználva, hogy , ha . A távolságra nézve milyen feltételnek kell teljesülni ahhoz, hogy a földelt fémgömb teljesen leárnyékolja a töltés terét, vagyis az pontban az elektromos térerősség pontosan nulla legyen?
3. Rezgések a földelt fémgömb elektromos terében. Egy hosszúságú fonál segítségével a földelt fémgömb közelében ,,felfüggesztünk'' egy ponttöltést, melynek tömege . A fonál másik végét egy falhoz rögzítjük. A fal elektrosztatikus hatásait hanyagoljuk el. A ponttöltés matematikai ingaként viselkedik (lásd a 3. ábrát). A fonálnak a falhoz rögzített vége távolságra van a gömb középpontjától. Tegyük fel, hogy a gravitáció elhanyagolható.
 3. ábra. Egy ingaként viselkedő ponttöltés a földelt fémgömb közelében Adjuk meg a ponttöltésre ható elektromos erő nagyságát egy adott szög esetén, és jelezzük ennek az erőnek az irányát egy jól áttekinthető ábrán! Határozzuk meg ennek az erőnek a fonálra merőleges összetevőjét a következő tagok függvényében: , , , és . Adjuk meg az inga kis rezgéseinek frekvenciáját!
4. A rendszer elektrosztatikus energiája. Elektromos töltéseloszlások esetén a rendszer elektrosztatikus energiája fontos adat. A mi esetünkben (lásd az 1. ábrát), elektrosztatikus kölcsönhatás jön létre a külső töltés és a gömbön kialakuló töltések között, valamint létezik elektrosztatikus kölcsönhatás magán a gömbön lévő töltések között is. A töltés, valamint a gömb sugara, továbbá a távolság segítségével határozzuk meg a következő elektrosztatikus energiákat: a töltés és a gömbön lévő töltések közötti kölcsönhatás elektrosztatikus energiáját; a gömbön lévő töltések közötti kölcsönhatás elektrosztatikus energiáját; a rendszer teljes kölcsönhatási elektrosztatikus energiáját. Útmutatás: Ez a feladat többféleképpen is megoldható! (1) Az egyik módszer esetén a következő integrált használhatod: (2) Egy másik módszer esetén felhasználhatod azt a tényt, hogy ponttöltésből álló rendszer teljes elektrosztatikus energiája az összes töltéspárra vonatkozó energiák összege: | | ahol a töltéseket jelöli, és ezek az , ) pontokban helyezkednek el.
|
|