Feladat: 2006. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):  Gnädig Péter 
Füzet: 2007/március, 171 - 172. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Tökéletesen rugalmatlan ütközések

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy bolygóközi pályán mozgó űrszonda, pályájának bizonyos részén, egy ott elhelyezkedő kozmikus ,,porfelhőn'' haladt át. Mindazon porszemcsék, amelyeknek nekiütközött, ráragadtak a szondára. Mire a szonda kiért a porfelhőből, tömege 2%-kal megnőtt.
Hány százalékkal nőtt meg a porfelhőn való áthaladás ideje ahhoz képest, amennyi idő alatt a porfelhő fékező hatása nélkül tette volna meg a szonda ugyanezt az utat?
(A porfelhőt állandó sűrűségű, határozott szélű objektumnak tekinthetjük.)

 
Megoldás. Külső erők hiányában a rendszer összes lendülete (impulzusa) állandó marad. Bolygóközi pályáról van szó, az űrszonda tehát legfeljebb a Nap gravitációs terét érzi, de első közelítésben ezt is elhanyagolhatjuk. A porfelhőt állandó sűrűségű, határozott szélű objektumnak tekintjük, így a folyamatot a 2. ábrával szemléltethetjük:
 

 
2. ábra
 

A porfelhő nem vesz át impulzust az űrszondától, mivel valamennyi porszem, amivel a szonda ütközik, ráragad a szondára. Másrészt v0, vx és vl a szondának a porfelhőhöz viszonyított (relatív) sebességét jelöli, vagyis a porfelhőt nyugvónak tekinthetjük.
A szonda tömege, miután x utat megtett a porfelhőben:
mx=m0+ϱAx,
ahol ϱ a porfelhő sűrűsége, A a szondának a sebességére merőleges keresztmetszet-területe. A szonda egész útját l-lel jelölve, a feladat feltétele szerint
ml-m0=ϱAl=0,02m0.
A lendületmegmaradásból következőleg
vx=m0v0mx=m0v0m0+ϱAx.
Itt vx helyére ΔxΔt-t helyettesítve, majd Δt-t kifejezve
Δt=m0+ϱAxm0v0⋅Δx,
tehát az azonos nagyságú Δx útszakaszok megtételéhez szükséges Δt idő lineáris függvénye x-nek! Így a teljes áthaladási idő a számtani középből számolható:
T=∑Δt=12(1v0+m0+ϱAlm0v0)∑Δx=lv0+ϱAm0v0l22.
Ezt a kifejezést kissé átalakíthatjuk:
T=lv0+ϱAlm0v0l2=lv0+0,02v0l2=lv0(1+0,01),T=1,01T0.

Most kapott eredményünk szerint az áthaladási idő 1%-kal lett nagyobb. Általánosítva azt mondhatjuk, hogy ha a szonda tömege p%-kal megnőtt, akkor az áthaladási idő p/2%-kal lett nagyobb, függetlenül attól, hogy p értéke mekkora. Csak az a gondolatmenet fogadható el e feladat teljes értékű megoldásának, amiből ez is következik; más megfontolások (melyek p kicsiny értékénél numerikusan jó eredményt szolgáltatnak, de általánosságban nem működnek) csak részmegoldásnak tekinthetők.