Kezdőlap


Feladat:	A.517	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2010/október, 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nehéz feladat, Oszthatóság, Polinomok, Maradékosztályok

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $m \geq 3$ egész szám, és legyen $Φ_{m} (x)$ az $m$ -edik körosztási polinom, továbbá legyen $Ψ_{m} (x)$ az az egész együtthatós polinom, amelyre

\begin{matrix} x^{φ (m) / 2} Ψ_{m} (x + \frac{1}{x}) = Φ_{m} (x) . \end{matrix}

Igazoljuk, hogy tetszőleges

a

egész számra a

Ψ_{m} (a)

szám minden prímosztója vagy osztója

m

-nek, vagy pedig

m k \pm 1

alakú.
(A körosztási polinomokról és a

Ψ_{m}

polinomról bővebben olvashatunk Keith Kearnes, Kiss Emil és Szendrei Ágnes Gauss egészek és Dirichlet tétele c. cikkében, a KöMaL 2010. márciusi és áprilisi számaiban.)