Feladat: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 11. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2008/október, 424 - 427. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb merev testek dinamikája
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2008/november: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. ,,Vízzel hajtott rizshántoló mozsár''

 
Bevezetés. Vietnamban a legtöbb embernek a rizs a fő tápláléka. A fehér rizst úgy készítik a hántolatlan rizsből, hogy hántolják, vagyis egy réteget eltávolítanak a rizsszemek felületéről. Észak-Vietnam hegyvidékei vízben gazdagok, és az ott élő emberek vízzel hajtott rizshántoló mozsarakat használnak ehhez a munkához. Az 1. ábra egy ilyen mozsarat mutat, a 2. ábrán pedig az látható, hogyan működik.
 

 
1. ábra. Vízzel hajtott rizshántoló mozsár
 

Tervezés. Az 1. ábrán látható rizs-hántoló mozsár a következő részekből áll:
A mozsár, lényegében egy fa tartály a rizs számára.
Az emelő, ami egy fatörzs, egyik vége vastagabb, a másik vékonyabb. Az emelő vízszintes tengely körül tud elfordulni. A mozsártörőt merőlegesen rögzítik az emelő vékonyabb végére. A mozsártörőt olyan hosszúra készítik, hogy akkor érje el a mozsárban a rizst, amikor az emelő vízszintes. Az emelő vastagabb végét úgy alakítják ki, hogy egy üreget vágnak ki belőle, így egy kanalat vájnak ki a farúd végén. A kanál alakja nagyon fontos a mozsár működésében.
A működés szakaszai. A mozsár működése kétféle lehet.
Rendes, munkavégző körfolyamat. Ilyenkor a mozsár a 2. ábrán bemutatott működési ciklust végzi.
A rizshántoló funkció abból a munkából származik, amit a mozsártörő a rizsnek közvetít a 2. ábra (f) lépésében. Ha valamilyen okból a mozsártörő nem éri el a rizsszemeket, azt mondjuk, hogy a mozsár nem végez munkát.
 

 
2. ábra
 

Rendellenes, mozdulatlan állapot. A működési ciklus (c) lépésében (2. ábra), amikor az α dőlési szög növekszik, a kanálban lévő víz mennyisége csökken. Egy bizonyos időpillanatban a víz mennyisége éppen elegendő ahhoz, hogy egyensúlyban tartsa a szerkezet rúdját. Jelöljük a dőlési szöget ebben a pillanatban β-val. Ha az emelőrudat a β szögben tartjuk, és a kezdeti szögsebesség nulla, akkor az emelőrúd örökre ebben a helyzetben marad. Ez a mozdulatlan állapot felemelt emelőrúddal. Ennek a helyzetnek a stabilitása a kanálba folyó Φ vízmennyiségtől (vízhozamtól) függ. Ha Φ meghalad egy bizonyos Φ2 értéket, akkor a mozdulatlan állapot stabil, és a mozsár nem kerülhet a munkavégző funkcióba. Más szavakkal: Φ2-nél nagyobb vízhozam esetén a mozsár nem működik.
A rizshántoló mozsár működési ciklusa:
(a) Kezdetben nincs víz a kanálban, a mozsártörő a mozsárban nyugszik. Lassan csordogálva víz folyik a kanálba, eközben az emelő rúdja mégis vízszintes helyzetű marad.
(b) Egy bizonyos pillanatban a víz mennyisége eléri azt a határt, ami az emelőrúd felemeléséhez kell. A megdőlés hatására a víz megindul a kanál távolabbi oldala felé, ezzel még gyorsabban dönti az emelőrudat. A víz az α=α1 szöghelyzet elérésekor kezd kifolyni.
(c) Amint az α szög növekszik, a víz tovább folyik ki. Egy bizonyos α=β dőlési szögnél a teljes forgatónyomaték nulla.
(d) α folyamatosan növekszik, a víz kifolyása addig folytatódik, amíg a kanál teljesen kiürül.
(e) α továbbra is növekszik a rendszer tehetetlensége miatt. A kanál alakja miatt hiába folyik víz a kanálba, az azonnal kifolyik onnan. Az emelőrúd tehetetlenségi mozgása addig folytatódik, amíg α eléri a maximális α0 értékét.
(f) Mivel nincs víz a kanálban, az emelőrúd súlya visszahúzza a rendszert az eredeti vízszintes helyzetbe. A mozsártörő belecsapódik a (rizst tartalmazó) mozsárba, és ezután egy új ciklus kezdődik el.
A probléma. Az általunk vizsgált vízzel hajtott rizshántoló mozsár (3. ábra) paraméterei a következők: Az emelőrúd tömege (a mozsártörővel együtt, ha a kanálban nincs víz): M=30 kg. Az emelőrúd tömegközéppontja G. Az emelőrúd a T tengely körül forog (melynek vetülete az ábrán a T pont). Az emelőnek a T tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka: I=12kg⋅m2. Amennyiben a kanálban víz van, ennek a víznek a tömegét jelölje m, tömegközéppontja pedig legyen N. Az emelőrúd vízszinteshez viszonyított dőlésszöge α.
A berendezés legfontosabb geometriai adatait a 3. ábra mutatja.
 

 
3. ábra. A rizshántoló mozsár tervrajza és méretezése
 

Hanyagoljuk el a tengely körüli forgáskor fellépő súrlódást, valamint a kanálba eső víz által kifejtett erőt. Továbbá közelítésként tekintsük a kanálban levő víz felszínét mindig vízszintesnek.
 
1. A mozsár felépítése.
Kezdetben a kanál üres, és az emelőrúd vízszintes. Ezután fokozatosan egyre több víz folyik a kanálba, mígnem az emelőrúd elkezd forogni. Ebben a pillanatban a kanálban levő víz mennyisége: m=1,0 kg.
1.1. Határozd meg az emelőrúd G tömegközéppontjának a T forgástengelytől mért távolságát! Ha a kanál üres, GT vízszintes.
1.2. Amikor az emelőrúd eléri a vízszinteshez viszonyított α1 szögű helyzetet, a víz elkezd kifolyni a kanálból, míg az emelőrúd α2 szögű helyzeténél a kanál teljesen kiürül. Határozd meg az α1 és az α2 szöget!
1.3. Legyen μ(α) a (T tengelyre vonatkoztatott) teljes forgatónyomaték, amely az emelőrúd, valamint a kanálban levő víz súlyából származik. A μ(α) forgatónyomaték α=β esetén zérussá válik. Határozd meg a β szöget, valamint ebben a helyzetben a kanálban levő víz m1 tömegét!