Kezdőlap


Feladat:	2008. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/szeptember, 324. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Algebrai egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2008/október: 2008. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$(a)$ Mutassuk meg, hogy az

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{z^{2}}{{(z - 1)}^{2}} \geq 1 \end{matrix}

egyenlőtlenség teljesül minden olyan,

1

-től különböző

x

y

z

valós számok esetén, amelyekre

x y z = 1

(b)

Mutassuk meg, hogy van végtelen sok olyan,

1

-től különböző racionális számokból álló

x, y, z

számhármas, amelyre

x y z = 1

, és amelyre a fenti egyenlőtlenségben az egyenlőség esete áll fenn.