Kezdőlap


Feladat:	2006. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2006/október, 430 - 432. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladatok, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2006/november: 2006. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ez a feladat öt, egymástól független részből áll. Minden részben csak nagyságrendi becslést kell végezned, nem szükséges pontos választ adnod.

Digitális kamera. Tekintsünk egy

N_{p} = 5

Mpix (1

Mpix = 10^{6}

pixel) érzékelőfelületű digitális kamerát. A négyzet alakú, CCD érzékelőlap lineáris mérete (oldala)

L = 35

mm. A kamera lencséjének fókusztávolsága:

f = 38

mm. A lencsén megjelenő, jól ismert számsorozatot (2, 2,8, 4, 5,6, 8, 11, 16, 22)

F

-számoknak (numerikus apertúrának) hívjuk, és így jelölünk:

F #

, és a fókusztávolság és a

D

lencsenyílás (apertúra) átmérőjének arányaként definiálunk:

F # = f / D

.
3.1. (1 pont) Add meg a kamera lehető legjobb, csak a lencse által korlátozott

Δ x_{{min}_{}^{}}

felbontóképességét az érzékelőfelületén. Eredményedet fejezd ki a

λ

hullámhossz és

F #

(numerikus apertúra) segítségével, majd add meg a felbontóképesség számszerű értékét is

λ = 500

nm esetén.
3.2. (0,5 pont) Add meg a megapixelek ahhoz szükséges

N

számát, hogy a CCD érzékelő megfeleljen a fenti optimális felbontóképességnek.
3.3. (0,5 pont) Időnként a fényképészek úgy próbálják a kamerájukat használni, hogy a lehető legkisebb nyílást (apertúrát) állítják be. Tegyük fel, hogy a fényképezőgépünk

N_{0} = 16

Mpix-es, és érzékelőfelületének mérete, valamint lencséjének fókusztávolsága az előzőekkel megegyező. Milyen

F #

értéket állítsunk be, hogy a kép minőségét az optika ne korlátozza?
3.4. (0,5 pont) Tudjuk, hogy az emberi szem szög szerinti felbontóképessége nagyjából

φ = 2''

(szögmásodperc), és egy tipikus nyomtató minimum 300 dpi (dots per inch, azaz pont/hüvelyk) finomsággal nyomtat, legalább milyen minimális

z

távolságra tartsuk az oldalt a szemünktől, hogy ne lássuk külön-külön a pontokat?
Adatok: 1

hüvelyk = 25, 4

mm,

1'' = 2, 91 \cdot 10^{- 4}

rad.

Keménytojás. A hűtőszekrényből kivett tojás hőmérséklete

T_{0} = 4^{\circ} C

. Ezt a tojást forrásban lévő vízbe tesszük. A víz jól ismert forráspontját jelöljük így:

T_{1}

.
3.5. (0,5 pont) Mekkora

U

mennyiségű energiára van szükség ahhoz, hogy az egész tojás kicsapódjon (koagulálódjon)?
3.6. (0,5 pont) Mekkora

J

hőáramsűrűség folyik a tojásba, ha a közepe még hideg?
3.7. (0,5 pont) Mekkora

P

fűtőteljesítmény melegíti ilyenkor a tojást?
3.8. (0,5 pont) Ilyen hőátadással mennyi idő alatt lesz kemény a tojás?
Segítség: Használhatod a hővezetés egyszerűsített Fourier-törvényét:

J = κ Δ T / Δ r

, ahol

Δ T

a feladat tipikus

Δ r

hosszméretéhez tartozó hőmérsékletkülönbség. A

J

hőáramsűrűség mértékegysége:

Wm^{- 2}

.
Adatok: A tojás (tömeg) sűrűsége:

μ = 10^{3} kgm^{- 3}

. A tojás fajhője:

c = 4, 2 JK^{- 1}g^{- 1}

. A tojás sugara:

R = 2, 5

cm. A tojásfehérje kicsapódási hőmérséklete:

T_{c} = 65^{\circ} C

. Hővezetési együttható (melyről feltételezhetjük, hogy a folyékony és a szilárd tojásfehérjére ugyanakkora):

κ = 0, 64 WK^{- 1}m^{- 1}

.
Villámlás. A villámok nagyon leegyszerűsített modelljével foglalkozunk. A villámokat a felhőkben felhalmozódó elektrosztatikus töltések okozzák. A felhők alja rendszerint pozitív töltésű, a tetejük negatív töltésű, és a felhő alatt a talaj negatívan töltött. Ha az elektromos térerősség eléri a levegő átütési értékét, akkor kisülés következik be; ez a villám.

3. ábra. Egy villám idealizált impulzusa (a felhő és a talaj között folyó áramerősség az idő függvényében)

A következő kérdésekre ennek az egyszerűsített áramerősség‐idő görbének (3. ábra) és az alábbi adatoknak a segítségével válaszolj:
A felhő alja és a talaj közötti távolság:

h = 1

km.
A nedves levegő átütési térerőssége:

E_{0} = 300 kVm^{- 1}

.
A Földet évente elérő villámok teljes száma:

32 \cdot 10^{6}

.
A Föld népessége:

6, 5 \cdot 10^{9}

ember (= 6,5 Gigaember).
3.9. (0,5 pont) Mekkora egy villám

Q

töltése?
3.10. (0,5 pont) Mekkora átlagos

I

áram folyik villámláskor a felhő alja és a talaj között?
3.11. (1 pont) Képzeljük el, hogy a viharok egy év alatti összes elektromos energiáját összegyűjtjük, majd egyenletesen szétosztjuk az emberek között. Milyen hosszan tudna folyamatosan világítani egy 100 W-os izzólámpa az egy emberre jutó átlagos energiával?

Hajszálerek. Az emberi vért tekintsük olyan összenyomhatatlan, viszkózus folyadéknak, melynek

μ

(tömeg-) sűrűsége megegyezik a vízével, dinamikus viszkozitása pedig

η = 4, 5 gm^{- 1}s^{- 1}

. A hajszálér-hálózatot egyenes,

r

sugarú,

L

hosszúságú hengeres csövekkel modellezzük, és a véráram leírására a Poiseuille-féle

\begin{matrix} Δ p = R D \end{matrix}

törvényt alkalmazzuk, mely a hidrodinamikában hasonló szerepet játszik, mint az elektromosságtanban az Ohm-törvény. A fenti képletben

Δ p

az ér (cső) eleje és vége közti nyomáskülönbség, a

D = S υ

(vér-) hozam az ér

S

keresztmetszetén időegység alatt átáramlott folyadék térfogata,

υ

pedig a véráram sebessége. Az

R

áramlási ellenállást a következő formula adja meg:

\begin{matrix} R = \frac{8 η L}{π r^{4}} . \end{matrix}

Nyugalmi állapotban az emberi nagyvérkörben (amely a szív bal pitvarától a jobb kamráig vezet) a ,,vérhozam''

D \approx 100 cm^{3}s^{- 1}

. A következő kérdések megválaszolásánál a nagyvérkör leírására olyan modellt használj, melyben a hajszálerek párhuzamosan vannak kapcsolva, és mindegyikük

r = 4 μ m

sugarú,

L = 1

mm hosszúságú, és

Δ p = 1

kPa nyomáskülönbségnek van kitéve.
3.12. (1 pont) Hány hajszálér található az emberi testben?
3.13. (0,5 pont) Mekkora

υ

sebességgel áramlik a vér a hajszálerekben?

Felhőkarcoló. Egy 1000 m magas felhőkarcoló aljánál a külső levegő hőmérséklete

T_{lent} = 30^{\circ} C

. Célunk a felhőkarcoló tetejénél mérhető

T_{fent}

külső hőmérséklet megállapítása. Tekintsünk egy vékony levegőréteget (ideális nitrogéngáz, adiabatikus kitevője

γ = 7 / 5

), amely lassan

z

magasságba emelkedik, ahol a nyomás alacsonyabb, valamint tegyük föl, hogy a levegőréteg eközben adiabatikusan tágul, és így hőmérséklete a környező levegőével megegyező értékre csökken.
3.14. (0,5 pont) Határozd meg a

d T / T

relatív hőmérsékletváltozásnak és a

d p / p

relatív nyomásváltozásnak a hányadosát!
3.15. (0,5 pont) Fejezd ki a

d p

nyomáskülönbséget a

d z

magasságváltozás függvényében!
3.16. (1 pont) Mennyi a levegő hőmérséklete a felhőkarcoló tetejénél?
Adatok: A Boltzmann-állandó:

k = 1, 38 \cdot 10^{- 23} JK^{- 1}

. A nitrogénmolekula tömege:

m = 4, 65 \cdot 10^{- 26}

kg. A nehézségi gyorsulás:

g = 9, 80 ms^{- 2}