Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2007/szeptember, 324. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozatok monotonitása, korlátossága, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Valós számok és tulajdonságaik, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2007/október: 2007. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adottak az $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ valós számok. Mindegyik $i$ -re ( $1 \leq i \leq n$ ) legyen

\begin{matrix} d_{i} = {max}_{}^{} {a_{j} : 1 \leq j \leq i} - {min}_{}^{} {a_{j} : i \leq j \leq n} \end{matrix}

és legyen

\begin{matrix} d = {max}_{}^{} {d_{i} : 1 \leq i \leq n} . \end{matrix}

(a)

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

x_{1} \leq x_{2} \leq ... \leq x_{n}

valós számokra

\begin{matrix} {max}_{}^{} {| x_{i} - a_{i} | : 1 \leq i \leq n} \geq \frac{d}{2} . \end{matrix}

(*)

(b)

Mutassuk meg, hogy vannak olyan

x_{1} \leq x_{2} \leq ... \leq x_{n}

valós számok, amelyekre

(*)

-ban az egyenlőség áll fenn.