Feladat: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2007/október, 429 - 431. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háttérsugárzás, Egyéb kozmológia, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2007/november: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hawking-sugárzás

 

Bárhol is találkozunk a fizikában egy egyenlőséggel, az egyenlet mindkét oldala ugyanolyan típusú, azaz ugyanolyan dimenziójú. Például nem lehetséges, hogy az egyenlet jobb oldala hosszúságnak felel meg, míg a bal oldalon álló mennyiség idő intervallumnak. Ezt a tényt felhasználva időnként (számfaktoroktól eltekintve) fizikai összefüggéseket állapíthatunk meg a probléma analitikus megoldása nélkül. Például, ha azt kérdezzük, hogy a h magasságból elengedett test mennyi idő alatt esik le az állandónak tekinthető g gravitációs gyorsulás hatására, akkor úgy érvelhetünk, hogy egy idő intervallumot reprezentáló mennyiséget kell felépítenünk g és h segítségével, és ennek egyetlen módja ez: T=a(h/g)1/2. Vegyük észre, hogy ez a megoldás tartalmaz egy dimenzió nélküli, nem meghatározott a együtthatót, melyet ezzel a módszerrel nem lehet megkapni. Ez az együttható egy ilyen szám lehet: 1, 1/2, 3, π vagy bármilyen más valós szám. Fizikai összefüggéseknek ilyen módszerrel történő levezetését dimenzióanalízisnek nevezzük. Dimenzióanalíziskor a dimenzió nélküli együtthatók nem fontosak, és ezért nem szükséges leírni ezeket. Szerencsére a legtöbb fizikai probléma esetén ezek az együtthatók nagyságrendileg 1 körüli számok, és elhagyásuk nem változtatja meg a fizikai mennyiségek számértékének nagyságrendjét. Ennek megfelelően a fenti probléma esetén a dimenzió-analízis módszerével ezt az eredményt kapjuk: T=(h/g)1/2.
Általánosságban egy fizikai mennyiség dimenziója felírható négy alapmennyiség dimenziójával: M (tömeg), L (hosszúság), T (idő), és K (hőmérséklet). Egy tetszőleges x mennyiség dimenzióját így jelöljük: [x]. Példaként megmutatjuk, hogy a v sebesség, az Ek mozgási (kinetikus) energia és a CV hőkapacitás dimenziója így írható fel: [v]=LT-1, [Ek]=ML2T-2, [CV]=ML2T-2K-1.
 
Alapvető állandók és a dimenzióanalízis kapcsolata
1.1. (0,8 pont) Határozd meg az alapvető állandók, azaz a h Planck-állandó, a c fénysebesség, a G egyetemes gravitációs állandó és a kB Boltzmann-állandó dimenzióját a hosszúság, a tömeg, az idő és a hőmérséklet dimenziója segítségével!
A Stefan‐Boltzmann-törvény szerint a feketetest által kisugárzott intenzitás (vagyis az egységnyi felület által egységnyi idő alatt kisugárzott energia) így adható meg: σθ4, ahol σ a Stefan‐Boltzmann-állandó és θ a feketetest abszolút hőmérséklete.
 
1.2. (0,5 pont) Határozd meg a Stefan‐Boltzmann-álladó dimenzióját a hosszúság, a tömeg, az idő és a hőmérséklet dimenziója segítségével!
A Stefan‐Boltzmann-állandó nem alapvető állandó, és így felírható az alapvető állandók segítségével, azaz ilyen módon: σ=ahαcβGγkBδ. Ebben az összefüggésben a egy 1 nagyságrendű dimenzió nélküli paraméter. Amint ezt az előzőekben említettük, a pontos értéke a mi szempontunkból érdektelen, ezért egyszerűen vegyük 1-nek.
 
1.3. (1,0 pont) Határozd meg α, β, γ és δ értékét dimenzióanalízissel!
 
A fekete lyukak fizikája. Ebben a részben dimenzióanalízis segítségével megpróbáljuk meghatározni a fekete lyukak néhány tulajdonságát. Egy bizonyos fizikai elméletnek megfelelően, amit ``no hair'' (,,haja nincs'') elméletnek hívunk, a fekete lyukak összes jellemzője, amelyekkel ebben a feladatban foglalkozunk, kizárólag csak a fekete lyukak tömegétől függ. Egy fekete lyuk egyik jellemzője az eseményhorizontjának a területe. Durván azt mondhatjuk, hogy az eseményhorizont a fekete lyuk határa. Ezen a határon belül a gravitáció olyan erős, hogy az ezzel határolt tartományt még a fény sem képes elhagyni.
Szeretnénk kapcsolatot találni egy fekete lyuk m tömege és az eseményhorizont A területe között. Ez a terület a fekete lyuk tömegétől, a fénysebességtől és az egyetemes gravitációs állandótól függ. Az 1.3 alkérdés mintájára ezt írhatjuk fel: A=Gαcβmγ.
 
2.1. (0,8 pont) Dimenzióanalízis segítségével határozd meg α, β, és γ értékét!
A 2.1. alkérdés eredménye világosan megmutatja, hogy egy fekete lyuk eseményhorizontjának a területe a lyuk tömegével növekszik. Klasszikus leírás szerint semmi sem jön ki a fekete lyukból, és ezért akármilyen fizikai folyamat is történik, az eseményhorizont területe csak növekedhet. A termodinamika második főtételével analógiába állítva ezt, Jacob Bekenstein azt javasolta, hogy érdemes bevezetni a fekete lyukak S entrópiáját, amit tekintsünk arányosnak a lyuk eseményhorizontjának területével, azaz S=ηA. Más érvelések megerősítették ezt a felvetést.
 
2.2. (0,2 pont) Az entrópia termodinamikai definíciója (dS=dQ/θ) alapján határozd meg az entrópia dimenzióját!
dQ a hőközlés mértéke és θ a rendszer abszolút hőmérséklete.
 
2.3. (1,1 pont) Ugyanúgy, mint az 1.3. alkérdésben, fejezd ki a dimenzióval rendelkező η állandót mint az alapvető fizikai állandók (h, c, G, és kB) függvényét!
A továbbiakban ne használd a dimenzióanalízis módszerét, azonban felhasználhatod az eddigi alkérdésekre kapott eredményeidet!
 
3. Hawking-sugárzás. Fél-kvantummechanikai tárgyalással Stephen Hawking úgy érvelt, hogy ‐ a klasszikus tárgyalással ellentétben ‐ a fekete lyukak a feketetest-sugárzáshoz hasonlóan sugárzást bocsáthatnak ki. Úgy sugároznak, mint egy adott hőmérsékletű feketetest, ezt a hőmérsékletet Hawking-hőmérsékletnek nevezzük.
 
3.1. (0,8 pont) Az E=mc2 összefüggést felhasználva, ami megadja egy fekete lyuk energiáját a tömegével kifejezve, továbbá a termodinamika törvényei alapján, fejezd ki egy fekete lyuk θH Hawking-hőmérsékletét tömegének és az alapvető fizikai állandóknak a segítségével! Tételezd fel, hogy a fekete lyuk nem végez munkát a környezetén!
 
3.2. (0,7 pont) Egy környezetétől elszigetelt fekete lyuk a Hawking-sugárzás következtében változtatja a tömegét. A Stefan‐Boltzmann-törvény felhasználásával határozd meg, hogyan függ a fekete lyuk tömegének időbeli változási sebessége (deriváltja) a θH Hawking-hőmérséklettől, és fejezd ki ezt a deriváltat a fekete lyuk tömege, valamint az alapvető fizikai állandók segítségével!
 
3.3. (1,1 pont) Határozd meg azt a t* időt, ami ahhoz szükséges, hogy egy környezetétől teljesen elszigetelt m tömegű fekete lyuk teljesen ,,elpárologjon'', azaz teljesen elveszítse tömegét!
A termodinamika nézőpontjából a fekete lyukak különleges viselkedésekre képesek. Például egy fekete lyuk hőkapacitása negatív.
 
3.4. (0,6 pont) Határozd meg egy m tömegű fekete lyuk hőkapacitását!
 
4. A fekete lyukak és a kozmikus háttérsugárzás. Tekintsünk egy olyan fekete lyukat, ami ki van téve a kozmikus háttérsugárzásnak. A kozmikus háttérsugárzás egy olyan θB hőmérsékletű feketetest sugárzás, ami kitölti az egész világmindenséget. Ezért egy A teljes felületű test egységnyi idő alatt σθB4⋅A energiát kap. Ennek megfelelően egy fekete lyuk egyrészt energiát veszít a Hawking-sugárzás következtében, másrészt energiát nyer a kozmikus háttérsugárzásból.
 
4.1. (0,8 pont) Határozd meg a fekete lyuk tömegének az időbeli változási sebességét a fekete lyuk tömege, a kozmikus háttérsugárzás hőmérséklete és az alapvető fizikai állandók segítségével!
 
4.2. (0,4 pont) Bizonyos m* tömeg esetén ez a derivált eltűnik. Határozd meg ezt az m* tömeget, és fejezd ki θB és az alapvető fizikai állandók segítségével!
 
4.3. (0,2 pont) Használd fel a 4.2. alkérdésre adott válaszodat, fejezd ki belőle θB értékét, és helyettesítsd be a 4.1. részben kapott képletbe. Határozd meg a fekete lyuk tömegének időbeli változási sebességét m, m* és az alapvető fizikai állandók segítségével!
 
4.4. (0,4 pont) Határozd meg egy fekete lyuk Hawking-hőmérsékletét, amikor a lyuk termikus egyensúlyban van a kozmikus háttérsugárzással!
 
4.5. (0,6 pont) Ez az egyensúly stabil vagy instabil? Miért? (Válaszodat matematikailag indokold!)