Feladat: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2007/október, 426 - 428. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb feladatok, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2007/november: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Légzsák

 

Ebben a feladatban azoknak a gyorsulásmérőknek az egyszerűsített modelljével foglalkozunk, amelyek ütközéskor az autók légzsákját hozzák működésbe. Egy olyan elektromechanikai rendszert szeretnénk építeni, amelyben a gyorsulás egy meghatározott értékénél valamelyik elektromos mennyiség (például a feszültség az áramkör egy adott pontján) elér egy küszöbértéket, és ennek hatására a légzsák működésbe lép.
Megjegyzés: Ebben a feladatban hanyagold el a gravitációt!
 
1. Tekintsünk egy kondenzátort, amely két párhuzamos lemezből áll (3. ábra). A kondenzátor mindkét lemeze A területű, a lemezek közti távolság d. A lemezek közti távolság sokkal kisebb, mint a lemezek méretei. Az egyik lemezt egy k rugóállandójú (direkciós erejű) rugó egy falhoz kapcsolja, a másik lemez rögzített. Ha a lemezek közti távolság d, akkor a rugó nincsen sem megnyújtva, sem összenyomva. Más szavakkal: ekkor semmilyen erő nem lép fel a rugóban. Tegyük fel, hogy a lemezek közt a levegő permittivitása megegyezik a vákuuméval (ε0). A kondenzátor kapacitása a lemezek ekkora távolságánál: C0=ε0A/d. A lemezekre +Q és -Q töltést juttatunk, és hagyjuk, hogy a rendszer mechanikailag egyensúlyba kerüljön.
 

 

3. ábra
 

1.1. (0,8 pont) Számítsd ki a lemezek által egymásra kifejtett FE elektromos erőt!
 
1.2. (0,6 pont) A rugóhoz rögzített lemez elmozdulását jelölje x. Határozd meg x értékét!
 
1.3. (0,4 pont) Mekkora ebben az állapotban a kondenzátor lemezei közti V potenciálkülönbség Q, A, d, k függvényében kifejezve?
 
1.4. (0,3 pont) Legyen C a kondenzátor kapacitása (amit a töltés és a potenciálkülönbség hányadosaként definiálunk). Határozd meg a C/C0 hányadost Q, A, d és k függvényében!
 
1.5. (0,6 pont) Mekkora a rendszerben tárolt teljes U energia Q, A, d és k függvényében kifejezve?
A 4. ábra egy M tömegű testet mutat, amelyet egy elhanyagolható tömegű vezető lemezhez és két egyforma, k rugóállandójú rugóhoz rögzítettünk. A vezető lemez előre-hátra tud mozogni két rögzített vezető lemez között. A lemezek egyformák, területük A. A három lemez így két kondenzátort képez. A rögzített lemezek a 4. ábrán látható módon V és -V feszültségre vannak kapcsolva, a középső lemez pedig egy kétállású kapcsolón keresztül le van földelve. A középső lemezre kötött vezeték nem akadályozza a lemez mozgását, és a lemezek mindvégig párhuzamosak. Ha az egész rendszer nem gyorsul, akkor mindkét rögzített lemez d távolságra van a mozgó lemeztől (ez a távolság sokkal kisebb, mint a lemezek méretei). A mozgó lemez vastagsága elhanyagolható.
 

 

4. ábra
 

A kapcsoló az α és β állapotokban lehet. Tegyük fel, hogy a rendszer az autóval együtt gyorsul, és gyorsulása állandó. Tegyük föl azt is, hogy az állandó gyorsulás mellett a rugó nem rezeg, és az összetett kondenzátorrendszer minden eleme egyensúlyi állapotban van, azaz az egyes elemek egymáshoz (és így az autóhoz képest is) nyugalomban vannak.
A gyorsulás hatására a mozgó lemez x távolsággal elmozdul eredeti helyéről, a két rögzített lemez közötti felezőponttól.
 
2. Tekintsük először azt az esetet, amikor a kapcsoló az α állásban van, azaz a mozgó lemez le van földelve!
 
2.1. (0,4 pont) Határozd meg ebben az esetben mindkét kondenzátor töltését x függvényében!
 
2.2. (0,4 pont) Határozd meg a mozgó lemezre ható eredő FE elektromos erőt x függvényében!
 
2.3. (0,2 pont) Tegyük fel, hogy d≫x és az x2 rendű tagok elhanyagolhatók a d2 rendű tagok mellett. Egyszerűsítsd a 2.2. részben kapott képletet!
 
2.4. (0,7 pont) Írd fel a mozgó lemezre ható teljes erőt (az elektromos és rugóerők eredőjét) -keffx alakban, és határozd meg a keff-et megadó képletet!
 
2.5. (0,4 pont) Fejezd ki az a állandó gyorsulást x függvényében!
 
3. Most tekintsük azt az esetet, amikor a kapcsoló a β állásban van, azaz a mozgó lemez egy kondenzátoron keresztül van leföldelve. A kondenzátor kapacitása CK, és kezdetben nincs rajta töltés. A mozgó lemez x távolságra tér ki a középponti helyzetéből.
 
3.1. (1,5 pont) Határozd meg a CK kondenzátoron eső VK elektromos feszültséget x függvényében!
 
3.2. (0,2 pont) Megint feltételezzük, hogy d≫x, és az x2 nagyságrendű tagok elhanyagolhatók a d2 nagyságrendű tagok mellett. Egyszerűsítsd a 3.1. kérdésre kapott képletet!
 
4. Szeretnénk a feladatban szereplő paramétereket úgy beállítani, hogy normál fékezésnél a légzsák még ne jöjjön működésbe, de az autó ütközésekor elég gyorsan kinyíljon, és megvédje a vezető fejét a kormánnyal vagy a szélvédővel való ütközéstől. Ahogy a 2. részben láttad, a mozgó lemezre ható elektromos és rugóerő eredője egy keff effektív rugóállandójú rugóval vehető figyelembe. Az egész összetett kondenzátorrendszer olyan, mint egy M tömegből és egy keff rugóállandójú rugóból álló egyszerű rendszer, amely állandó a gyorsulással gyorsul (ami ebben a feladatban megegyezik az autó gyorsulásával).
Megjegyzés: Ebben a részben az a feltevés, hogy a tömeg és a rugó egyensúlyban van az állandó gyorsulás hatására, és így nem mozog az autóhoz viszonyítva, már nem érvényes!
Hanyagold el a súrlódást, és használd a következő numerikus értékeket: d=1,0cm, A=2,5⋅10-2m2, k=4,2⋅103N/m, ε0=8,85⋅10-12C2/Nm2, V=12V, M=0,15kg.
 
4.1. (0,6 pont) Ezeket az adatokat használva határozd meg a 2.3. részben kapott elektromos erő és a rugóerő hányadosát, és mutasd meg, hogy az elektromos erő elhanyagolható a rugóerő mellett!
Abban az esetben, amikor a kapcsoló a β állásban van, nem számítjuk ki az elektromos erőt, de az előzőhöz nagyon hasonlóan ekkor is meg lehetne mutatni, hogy az elektromos erők elhanyagolhatók a rugóerők mellett.
 
4.2. (0,6 pont) Mekkora a mozgó lemez maximális elmozdulása, ha az állandó sebességgel haladó autó hirtelen konstans a gyorsulással fékezni kezd? Paraméteres választ adjál!
Tegyük fel, hogy a kapcsoló a β állásban van, és a rendszer úgy van megtervezve, hogy ha a kondenzátoron eső feszültség eléri a VK=0,15V értéket, a légzsák aktiválódik. Azt szeretnénk, hogy a légzsák ne lépjen működésbe, ha az autó normálisan fékez, azaz gyorsulása kisebb a nehézségi gyorsulásnál (g=9,8m/s2), de azonnal lépjen működésbe, ha a gyorsulás ennél nagyobb.
 
4.3. (0,6 pont) Mekkora legyen ehhez CK értéke?
Meg szeretnénk határozni, hogy a légzsák elég gyorsan működésbe lép-e, és meg tudja-e védeni a vezető fejét a kormánnyal vagy a szélvédővel való ütközéstől. Tegyük fel, hogy egy ütközés hatására az autó g lassulással lassul, de a vezető feje továbbra is állandó sebességgel mozog.
 
4.4. (0,8 pont) Becsüld meg a vezető feje és a kormány közötti távolságot, és a becslés alapján határozd meg azt a t1 időt, amely addig telik el, hogy a vezető feje a kormánynak ütközik!
 
4.5. (0,9 pont) Határozd meg a légzsák aktiválódásáig eltelő t2 időt, és hasonlítsd össze t1-gyel! Időben működésbe lépett a légzsák? Tételezd fel, hogy a légzsák az aktiválás hatására azonnal kinyílik.