Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2007/október, 423 - 426. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kettőscsillagok, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2007/november: 2007. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kettőscsillagok

A kettőscsillag rendszerek két csillagból állnak, melyek közös tömegközéppontjuk körül keringenek. Galaxisunkban a csillagoknak csaknem a fele kettőscsillag rendszert alkot. A Földről nem könnyű megállapítani a legtöbb ilyen csillag rendszer kettős természetét, mert a két csillag közötti távolság sokkal kisebb, mint a tőlünk mérhető távolság, így a távcsövekkel csak egyetlen fénylő pontot látunk. Ezért inkább fotometriát (fényességmérést) és spektroszkópiát (színképelemzést) használunk, ilyen módon észlelhetjük az adott csillag intenzitásának vagy színképének a változásait, melyek segítségével eldönthetjük, hogy az adott rendszer kettős vagy sem.

Kettőscsillagok fényességmérése. Ha pontosan a két csillag mozgásának síkjában vagyunk, akkor az egyik csillag időről időre elhalad a másik előtt, és ezért az egész rendszer fényének intenzitása időben változni fog a mi megfigyelési helyünkön. Az ilyen kettős rendszereket ekliptikus kettős rendszereknek nevezzük.

1. Tegyük fel, hogy a két csillag mindegyike körpályán mozog a közös tömegközéppontjuk körül állandó

ω

szögsebességgel, és mi pontosan a kettős rendszer mozgásának síkjában vagyunk. Ugyancsak tegyük fel, hogy a két csillag felületi hőmérséklete

T_{1}

és

T_{2}

(

T_{1} > T_{2}

), valamint sugaraik

R_{1}

és

R_{2}

(

R_{1} > R_{2}

).
A fény Földről mérhető teljes intenzitását az idő függvényében az 1. ábra mutatja.

1. ábra. A kettőscsillag rendszerből érkező fény relatív intenzitása az idő függvényében. A függőleges tengely skálázása

I_{0} = 4, 8 \cdot 10^{- 9} W/m^{2}

értékhez viszonyított. Az idő napokban van mérve

A gondosan elvégzett mérések szerint a csillagokból érkező fény intenzitásminimumai a mindkét csillagból jövő fény maximális

I_{0}

intenzitásának (

I_{0} = 4, 8 \cdot 10^{- 9} W/m^{2}

) 90, illetve 63 százalékával egyenlők. Az 1. ábrán a függőleges tengely az

I / I_{0}

intenzitás arányt mutatja, míg a vízszintes tengelyen az idő van feltüntetve nap egységekben.

1.1. (0,8 pont) Olvasd le a mozgás periódusidejét!
Válaszodat add meg másodperc egységben két értékes jegy pontossággal!
Mekkora a rendszer szögsebessége radián/másodperc (rad/s) egységben?
Jó közelítéssel igaz, hogy egy csillagról érkező sugárzás olyan abszolút feketetest sugárzásnak felel meg, mint ami egy akkora sugarú lapos korongról érkezne, mint a csillag sugara. Ezért a csillagról érkező intenzitás

A T^{4}

-nel arányos, ahol

A

a korong területe és

T

a csillag felszínének hőmérséklete.

1.2. (1,6 pont) Az 1. ábrán található grafikon segítségével határozd meg a

T_{1} / T_{2}

és

R_{1} / R_{2}

arányokat.

Kettős rendszerek színképelemzése. Ebben a részben a kettőscsillag rendszer kísérleti színkép adatai alapján kiszámítjuk a kettőscsillag néhány csillagászati jellemzőjét.
Az atomok sugárzást nyelnek el vagy bocsátanak ki bizonyos jellegzetes hullámhosszakon. Következésképpen egy csillag észlelhető színképe elnyelési (abszorpciós) vonalakat tartalmaz a csillag felszíni légkörében található atomoknak megfelelően.
A nátrium jellegzetes sárga színképvonalának (

D_{1}

vonal) hullámhossza: 5895,9

Å

(

10 Å = 1 nm

). Vizsgáljuk meg az előző részben szereplő kettős rendszer esetén az atomi nátriumnak ezt a hullámhosszát. A kettőscsillagról érkező fény színképe Doppler-eltolódást szenved, mert a csillagok hozzánk képest mozognak. A két csillag sebessége különböző. Ennek megfelelően a két csillag elnyelési hullámhossza különböző mértékben tolódik el. Igen pontos hullámhossz-mérésekre van szükségünk ahhoz, hogy a Doppler-eltolódást észlelhessük, mert a csillagok sebessége sokkal kisebb a fénysebességnél. A kettős rendszer tömegközéppontjának hozzánk képesti sebessége ebben a feladatban sokkal kisebb, mint az egyes csillagok pályamenti sebessége. Ezért az összes Doppler-eltolódást kizárólag a csillagok pályamenti sebességével hozhatjuk kapcsolatba. Az 1. táblázat az általunk vizsgált kettős rendszer csillagjainak mért színképét mutatja.

1. táblázat: A kettőscsillag rendszer elnyelési színképe a nátrium

D_{1}

vonalának esetében

\begin{matrix} t/nap & λ_{1}(Å) & λ_{2}(Å) & t/nap & λ_{1}(Å) & λ_{2}(Å) \\ 0,3 & 5897,5 & 5893,1 & 2,7 & 5895,6 & 5896,4 \\ 0,6 & 5897,7 & 5892,8 & 3,0 & 5896,7 & 5894,5 \\ 0,9 & 5897,2 & 5893,7 & 3,3 & 5897,3 & 5893,1 \\ 1,2 & 5896,2 & 5896,2 & 3,6 & 5897,7 & 5892,8 \\ 1,5 & 5895,1 & 5897,3 & 3,9 & 5897,2 & 5893,7 \\ 1,8 & 5894,3 & 5898,7 & 4,2 & 5896,2 & 5896,2 \\ 2,1 & 5894,1 & 5899,0 & 4,5 & 5895,0 & 5897,4 \\ 2,4 & 5894,6 & 5898,1 & 4,8 & 5894,3 & 5898,7 \end{matrix}

(Megjegyzés: Nem szükséges grafikont készíteni ennek a táblázatnak az adataiból.)

2. Használd az 1. táblázatot!

2.1. (1,8 pont) Jelölje az egyes csillagok pályamenti sebességét

v_{1}

és

v_{2}

! Határozd meg

v_{1}

és

v_{2}

értékét!
A fény sebessége:

c = 3, 0 \cdot 10^{8} m/s

. Hanyagold el a relativisztikus hatásokat!

2.2. (0,7 pont) Határozd meg a csillagok tömegarányát

(m_{1} / m_{2})

2.3. (0,8 pont) Jelölje

r_{1}

és

r_{2}

az egyes csillagok távolságát a tömegközéppontjuktól! Határozd meg

r_{1}

és

r_{2}

értékét!

2.4. (0,2 pont) Jelölje

r

a csillagok közötti távolságot! Határozd meg

r

értékét!

3. A csillagok között ható egyetlen erő a gravitációs erő.

3.1. (1,2 pont) Határozd meg az egyes csillagok tömegét egy értékes jegy pontossággal!
Az univerzális gravitációs állandó

G = 6, 7 \cdot 10^{- 11} m^{3}kg^{- 1}s^{- 2}

A csillagok általános jellemzői
4. A legtöbb csillagban ugyanolyan módon történik az energiatermelés. Ezért lehetséges egy empirikus (megfigyelésen alapuló) összefüggést felállítani a csillagok

M

tömege és az úgynevezett

L

luminozitása (a csillag által kisugárzott összes teljesítmény) között. Ezt az összefüggést ilyen alakban is megadhatjuk:

L / L_{Nap} = {(M / M_{Nap})}^{α}

, ahol

M_{Nap} = 2, 0 \cdot 10^{30} kg

a Nap tömege és

L_{Nap} = 3, 9 \cdot 10^{26} W

a Nap luminozitása. A 2. ábra ezt az összefüggést mutatja log‐log diagram alakjában.

2. ábra. Egy csillag luminozitása a tömegének függvényében hatványfüggvény szerint változik. A grafikon log‐log diagram. A csillaggal jelölt csillag a mi Napunkat mutatja, melynek tömege

2, 0 \cdot 10^{30} kg

és luminozitása

3, 9 \cdot 10^{26} W

4.1. (0,6 pont) Határozd meg

α

értékét 1 értékes jegy pontossággal!

4.2. (0,6 pont) Jelölje

L_{1}

és

L_{2}

a kettős rendszer csillagainak luminozitását az előzőekben tanulmányozott kettőscsillag esetén! Határozd meg

L_{1}

és

L_{2}

értékét!

4.3. (0,9 pont) Add meg fényév egységekben, hogy mekkora

d

távolságra van tőlünk a kettőscsillag!
A távolság meghatározásakor használd az 1. ábrán található adatokat! Egy fényév az a távolság, amit a fény egy év alatt tesz meg.

4.4. (0,4 pont) Mekkora a két csillag közötti maximális

θ

látószög a földi észlelési pontból nézve?

4.5. (0,4 pont) Legalább mekkora legyen egy optikai távcső

D

apertúra- (nyílás-) mérete, hogy megfelelő felbontóképességet biztosítson a két csillag külön-külön észleléséhez?